数论-同余式

同余式

定义：a≡b (mod m) =>a和b关于模m同余

数学式子表示：∃ q,q1,r，a=m*q+r,b=m*q1+r (0≤r≤m-1)

 

性质

①a≡a (mod m)

②若a≡b (mod m) ,则b≡a (mod m)(对称性)

③若a≡b (mod m) 且b≡c (mod m),则a≡c (mod m)(传递性)

等价类的集合表示：Z/mz={[k] | 0≤k≤m-1}(对于模数m，共会有m个等价类)

 

定理1：

a≡ b (mod m) ，当且仅当m|a-b

证明：

①（必要性 a≡ b (mod m)-> m|a-b）

∃ q,q1,r,a=m*q+r,b=m*q1+r (0≤r≤m-1)

则a-b=m*(q-q1),即m|a-b

②(充分性m|a-b->a≡ b (mod m))

假设a=m*q+r, b=m*q1+r1 (0≤r≤m-1, 0≤r1≤m-1)

则a-b=m*(q-q1)+(r-r1)

∵m|(a-b),故(r-r1)|m

又∵0≤r≤m-1,  0≤r1≤m-1,故r=r1

即a≡b (mod m),得证

定理2:

若a≡b (mod m),且α≡β (mod m)，则

①a*x+α*y=b*x+β*y (mod m)

②a*α ≡ b*β (mod m)

③a**n≡ b**n (mod m)

④f(a)≡f(b) (mod m)

证明：

①∵a≡b (mod m),且α≡β (mod m)

故m|a-b, m|α-β

∴m|(a-b)*x+(α-β)*y

即a*x+α*y≡b*x+β*y(mod m)

②a*α-b*β=a*α-b*α-b*β+b*α=(a-b)*α+b(α-β)

∵m|a-b, m|α-β

∴m|a*α-b*β

即a*α≡b*β (mod m)

③∵a≡b (mod m)

∴a*a≡b*b (mod m)(根据②)

故a**3≡b**3 (mod m)

...

a**n≡ b**n (mod m)

④令f(x)=Cn*(x**n)+Cn-1(x**n-1)+...C1*x+C0*1

　　Cn*(a**n)≡Cn*(b**n) (mod m)

　　Cn-1*(a**n-1)≡Cn-1*(b**n-1) (mod m)

　　.

　　.

　　.

　　C1*a≡C1*b (mod m)

　　C0≡C0 (mod m)

左边、右边相加即得f(a) ≡ f(b) (mod m)

定理3：

若a*c≡b*c (mod m) 且(m,c)=d，则a≡b (mod m/d)

证明：由同余式可知m|(a-b)*c

故存在k，使得(a-b)*c=m*k

∵(m,c)=d

∴(a-b)*c/d=m*k/d

∵c/d,m/d互质

故m/d|(a-b)

即a≡b (mod m/d)

定理4：

若

a≡b (mod m1)

a≡b (mod m2)

.

.

.

a≡b (mod mn)

则a≡b (mod [m1,m2,m3...,mn])

证明：

∵m1|a-b, m2|a-b,...,mn|a-b

∴(a-b)为m1,m2...,mn的公倍数

故[m1,m2,...,mn] | a-b，所以a≡b (mod [m1,m2,m3...,mn])