sj结构 - 图

图(Graph)

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I 定义

\[\text{Graph}=(V,E) \]

其中

\[V= \lbrace x|x\in \text{Data Object} \rbrace \]

是数据元素的集合, 一般被称为顶点(Vertex).
另外:

\[E= \lbrace (v,w)|v,w\in V \rbrace \\ \text{or} \\ E= \lbrace \langle v,w \rangle |(v,w\in V)\wedge (\text{Path}(v,w)) \rbrace \]

表示数据元素之间的关系, 也叫边(edge)集合;
\(\text{Path}(v,w)\) 表示从顶点 \(v\) 到顶点 \(w\) 的一条单向通路, 它有方向.

• 无向图: \((v,w)\) 无序
• 有向图: \(\langle v,w \rangle\) 有序

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对图进行一些限制:

1. 图中不能有自身环
2. 两个顶点之间相关联的边不能多余一条.

II 术语

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1. 完全图(complete graph)
   \(n\) 个顶点的无向图有 \(n(n-1)/2\) 条边, 则被称为完全无向图;
   \(n\) 个顶点的有向图有 \(n(n-1)\) 条边, 则被称为完全有向图;

2. 权(weight)
   边上的相关系数. 带权图也被称为网络(network).

3. 邻接点(adjacent vertex)
   若 \((v,w)\) 是无向图 \(\text{G}\) 中的一条边, 则称 \(v\) 与 \(w\) 互为邻接顶点, 且边 \((v,w)\) 称为依附于顶点 \(v\) 和 \(w\).
   若 \(\langle v,w \rangle\) 是有向图 \(\text{G}\) 中的一条弧, 则称顶点 \(v\) 邻接到顶点 \(w\) (也称 \(v\) 是 \(w\) 的前驱, ..., 弧 \(\langle v,w \rangle\) 与顶点 \(v\) & \(w\) 相关联).

4. 子图(subgraph)
   设有两个图 \(\text{G}=(V,E)\) 以及 \(\text{G}'=(V',E')\),
   若 \(V'\subseteq V\) 并且 \(E'\subseteq E\) ,
   则称 \(\text{G}'\) 是 \(\text{G}\) 的子图.

5. 顶点的度(degree)
   无向图中, 顶点 \(v\) 的度等于依附于顶点 \(v\) 的边的条数, 记作

   \[\text{TD}(v) \]

   有向图中, 以 \(v\) 为起始点的有向边条数称为顶点 \(v\) 的出度, 记作

   \[\text{OD}(v) \]

   以顶点 \(v\) 为终点的有向边条数称为顶点 \(v\) 的入度, 记作

   \[\text{ID}(v) \]

   有向图中顶点 \(v\) 的度数为入度和出度之和:

   \[\text{TD}(v)=\text{ID}(v)+\text{OD}(v) \]

   一般的, 设图 \(\text{G}\) 中有 \(n\) 个顶点, \(e\) 条边(或弧), 则有:

   \[e=\frac{\text{TD}(v_1)+\text{TD}(v_2)+\cdots+\text{TD}(v_n)}{2} \]

6. 路径(path)
   在图 \(\text{G}=(V,E)\) 中, 若从顶点 \(v_i\) 出发, 沿一些边(或弧)经过一系列顶点 \(v_{p1},v_{p2},\cdots,v_{pk}\) 最终达到顶点 \(v_j\) , 则称顶点序列 \((v_i,v_{p1},v_{p2},\cdots,v_{pk},v_j)\) 为顶点 \(v_i\) 到顶点 \(v_j\) 的一条路径.

7. 路径长度(path length)

   对于不带权的图, 路径长度为路径上边的数目;
   对于带权图, 路径长度为各边上权之和.

8. 简单路径与回路(cycle)
   若路径上各点均不相同, 则称为简单路径;
   若路径上第一个顶点和最后一个相同, 则称该路径为回路或环.

9. 连通图与连通分量(connected graph and connected component)
   无向图中, 若两顶点间存在路径, 则称这两个顶点是连通的.
   如果无向图中任意两个顶点都是联通的, 则称此无向图是连通图.
   非连通图的极大连通子图(包括所有连通的顶点和这些顶点依附的所有的边)叫做连通分量.

10. 强连通图与强连通分量(strongly connected digraph)
    有向图中, 对于两个顶点 \(v_i\) 和 \(v_j\) , 若同时存在 \(v_i\) 到 \(v_j\) 和 \(v_j\) 到 \(v_i\) 的路径, 则称 \(v_i\) 和 \(v_j\) 是强连通.
    若有向图中任意两个顶点都是强连通的, 则称此有向图为强连通图.
    非强连通图的极大强连通子图叫做强连通分量. 单个顶点可以组成一个子图.

11. 生成树(spanning tree)
    一个连通图的生成树是它的极小连通子图, 包含图中全部 \(n\) 个顶点和仅使这 \(n\) 个顶点连通的 \(n-1\) 条边.
    如果一个有向图只有一个入度为 \(0\) 的顶点, 其他顶点入度均为 \(1\) , 则这个有向图为有向树.
    一个有向图的生成森林由若干棵有向树组成, 生成森林含有图中所有顶点, 且只有足以构成若干棵树互不相交的有向树的弧.

III 图的基本操作

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参考文件 Graph.h , 定义了图的抽象类和方法.

IV 图的储存结构

1 邻接矩阵(Adjacency Matrix)

需要一个顶点矩阵记录每个顶点信息, 还需要一个矩阵表示各顶点之间的关系, 称为邻接矩阵.
设图 \(\text{G}=(V,E)\) 是一个有n个顶点的图, 则图的邻接矩阵是一个二维数组 \(\text{Arcs}[n][n]\) , 其定义为:

\[\text{Arcs}[i][j]= \begin{cases} 1, & \text{if } \langle i,j \rangle \in E \text{ or } (i,j) \in E \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases} \]

下图给出了无向图和有向图邻接矩阵的示例:

从上图可以发现, 无向图的邻接矩阵一定是对称矩阵, 顶点 \(v_i\) 的度就是第 \(i\) 行或第 \(j\) 列累加之和, 即:

\[\text{TD}(v_i)=\sum_{j=0}^{n-1}\text{Arcs}[i][j]+\sum_{j=0}^{n-1}\text{Arcs}[j][i] \]

有向图的邻接矩阵不一定对称. 若 \(\text{Arcs}[i][j] = 1\) , 则表示有一条从顶点 \(v_i\) 到 \(v_j\) 的有向边.
第 \(j\) 列的所有元素值累加之和就是顶点 \(v_j\) 的入度:

\[\text{ID}(v_j)=\sum_{i=0}^{n-1}\text{Arcs}[i][j] \]

第 \(i\) 行的所有元素值累加之和就是顶点 \(v_i\) 的出度:

\[\text{OD}(v_i)=\sum_{j=0}^{n-1}\text{Arcs}[i][j] \]

有向图的不连接用无穷表示!

2 邻接表 (Adjacent List)

邻接表是邻接矩阵的改进。当图中的边数很少时，邻接矩阵中会出现大量的零元素，
为了存储这些零元素，将耗费大量的存储空间。为此，可以把邻接矩阵的每一行改为一
个单链表。

需要注意的是, 有向图的邻接表连出的边表示的是出度, 而逆连接表表示的是入度.

3 邻接多重表

在无向图的邻接多重表中, 图的每一条边用一个边结点表示, 它由六个域组成:

• tag 是标记域, 标记该边是否被处理或被搜索过;
• weight 为边的信息域, 用于存储边的权值;
• adjvert1 和 adjvert2 是顶点域, 表示该边所依附的两个顶点在图中的序号;
• nextarcl 是边指针, 指向下一条依附于顶点 adjvert1 的边;
• nextarc2 也是边指针, 指向下一条依附于顶点 adjvert2 的边;

对图中的每一个顶点用一个顶点结点表示, 它有两个域组成:

• data 域存储有关顶点的信息;
• firstarc 域是链接指针, 指向第一条依附于该顶点的边;

所有的顶点结点组成一个顺序表。

4 十字链表

十字链表是有向图的一种链式存储结构.
十字链表把两个合有向图的邻接表和逆邻接表合二为一，用有向图的邻接多重表（通常称为十字链表）表示.

十字链表是储存专用的储存结构(实际上就是邻接多重表).