树的概念

0. 注意事项与声明

本文摘录整理自 Data Structures, Algorithms, and Applications in C++.

作者: JamesNULLiu
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1. 中英词汇对应表

1. 树 tree
   • 二叉树 binary tree
     • 完全二叉树 complete binary tree
     • 满二叉树 full binary tree
   • 堆 heap
     • 配对堆 pairing heap
     • 区间堆 interval heap
   • 左高树 leftist tree
   • 竞赛树 tournament tree
   • AVL树 AVL tree
   • 红黑树 red-black tree
   • 伸展树 splay tree
   • 字典树/前缀树/单词查找树/键树 tries
   • 后缀树 suffix tree
2. 结构
   • 根 root
   • 子树 subtree
   • 孩子 children
   • 双亲 parent
   • 兄弟 sibling
   • 祖先 ancestor
   • 后代 descendent
   • 叶子 leaf

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2. Binary Tree

2.1. 定义

1. [binary tree] 是一个有限个元素的集合(可以为空). 当二叉树非空, 其中一元素被称为 root, 余下元素(如果有)被划分为两棵二叉树, 分别被称为该元素的 left child 和 right child.
2. [full binary tree] 是一棵恰好有 \(2^h-1\) 个元素的二叉树.
3. [complete binary tree] 是除底层外为 full binary tree, 且底层结点集中于左边的树.

2.2. 性质

1. 一棵 binary tree 有 \(n\) 个元素, 则有 \(n-1\) 条边.
2. 一棵 binary tree 高度为 \(h\), \( h \geq 0 \), 则它最少有 \(h\) 个元素, 最多有 \(2^h-1\) 个元素.
3. 一颗 binary tree 有 \(n\) 个元素, \(n>0\), 那么它的高度最大为 \(n\), 最小为 \(\lceil \log_2 (n+1) \rceil\).
4. 一颗 complete binary tree 有 \(n\) 个元素, 那么它的高度为 \(\log_2 (n+1)\).
5. 设一颗 complete binary tree 中一元素的编号为 \(i\), \(1 \leq i \leq n\), 则有以下关系:
   • 若 \(i = 1\), 则该元素为二叉树的 root; 若 \(i>1\), 则其 parent 的编号为 \(\lceil i/2 \rceil\).
   • 若 \(2i>n\), 则该元素无 left child; 否则, 其 left child 的编号为 \(2i\).
   • 若 \(2i+1>n\), 则该元素无 right child; 否则, 其 right child 的编号为 \(2i+1\).

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3. Heap

3.1. 定义

1. [max(min) tree] 一棵树, 其中每个结点的值都大于(小于)或等于其 children (如果有)的值.
2. [max(min) heap] max(min) tree + complete binary tree.