我对PageRank的理解及R语言实现

PageRank，网页排名，又称网页级别、Google左侧排名或佩奇排名，是一种由搜索引擎根据网页之间相互的超链接计算的技术，而作为网页排名的要素之一，以Google公司创办人拉里·佩奇（Larry Page）之姓来命名。Google用它来体现网页的相关性和重要性，在搜索引擎优化操作中是经常被用来评估网页优化的成效因素之一。Google的创始人拉里·佩奇和谢尔盖·布林于1998年在斯坦福大学发明了这项技术。

1.算法原理

  对于某个互联网网页A来说，该网页PageRank的计算基于以下两个基本假设：
     数量假设：在Web图模型中，如果一个页面节点接收到的其他网页指向的入链数量越多，那么这个页面越重要。
     质量假设：指向页面A的入链质量不同，质量高的页面会通过链接向其他页面传递更多的权重。所以越是质量高的页面指向页面A，则页面A越重要。

2. PageRank计算公式

假设一个由4个页面组成的小团体：A，B，C和D。如果所有页面都链向A，那么A的PR（PageRank）值将是B，C及D的和。

PR(A)= PR(B) + PR(C) + PR(D)

继续假设B也有链接到C，并且D也有链接到包括A的3个页面。一个页面不能投票2次。所以B给每个页面半票。以同样的逻辑，D投出的票只有三分之一算到了A的PageRank上。

PR(A)= \frac{PR(B)}{2}+ \frac{PR(C)}{1}+ \frac{PR(D)}{3}

换句话说，根据链出总数平分一个页面的PR值。

PR(A)= \frac{PR(B)}{L(B)}+ \frac{PR(C)}{L(C)}+ \frac{PR(D)}{L(D)}

最后，所有这些被换算为一个百分比再乘上一个系数 $d$ 。由于“没有向外链接的页面”传递出去的PageRank会是0，所以，Google通过数学系统给了每个页面一个最小值 $(1 - d)/N$ ：

PR(A)=\left( \frac{PR(B)}{L(B)}+ \frac{PR(C)}{L(C)}+ \frac{PR(D)}{L(D)}+\,\cdots \right) d + \frac{1 - d}{N}

完整的

这个方程式引入了随机浏览的概念，即有人上网无聊随机打开一些页面，点一些链接。一个页面的PageRank值也影响了它被随机浏览的概率。为了便于理解，这里假设上网者不断点网页上的链接，最终到了一个没有任何链出页面的网页，这时候上网者会随机到另外的网页开始浏览。

为了处理那些“没有向外链接的页面”（这些页面就像“黑洞”会吞噬掉用户继续向下浏览的概率）带来的问题， $d=0.85$ （这里的 $d$ 被称为阻尼系数（damping factor），其意义是，在任意时刻，用户到达某页面后并继续向后浏览的概率。 $1-d=0.15$ 就是用户停止点击，随机跳到新URL的概率）的算法被用到了所有页面上，估算页面可能被上网者放入书签的概率。

所以，这个等式如下：

{\rm PageRank}(p_i) = \frac{1-d}{N} + d \sum_{p_j \in M(p_i)} \frac{{\rm PageRank} (p_j)}{L(p_j)}

$p_1, p_2, ..., p_N$ 是被研究的页面， $M(p_i)$ 是链入 $p_i$ 页面的集合， $L(p_j)$ 是 $p_j$ 链出页面的数量，而 $N$ 是所有页面的数量。

PageRank值是一个特殊矩阵中的特征向量。这个特征向量为

\mathbf{R} =\begin{bmatrix}{\rm PageRank}(p_1) \\{\rm PageRank}(p_2) \\\vdots \\{\rm PageRank}(p_N)\end{bmatrix}

R是等式的答案

\mathbf{R} =\begin{bmatrix}{(1-q) / N} \\{(1-q) / N} \\\vdots \\{(1-q) / N}\end{bmatrix}+ q\begin{bmatrix}\ell(p_1,p_1) & \ell(p_1,p_2) & \cdots & \ell(p_1,p_N) \\\ell(p_2,p_1) & \ddots & & \\\vdots & & \ell(p_i,p_j) & \\\ell(p_N,p_1) & & & \ell(p_N,p_N)\end{bmatrix}\mathbf{R}

接下来的目的就是求解特征向量了。

3. 利用幂法求矩阵的最大特征值和特征向量

链接源页面     链接目标页面
    1             2,3,4
    2             3,4
    3             4
    4             2

转换为：

1,2
1,3
1,4
2,3
2,4
3,4
4,2

pages<-read.csv("page.csv",header=FALSE);
#构造邻接矩阵(方阵):
mrow<-max(pages)
A<-matrix(0,nrow=4,ncol=4);
cols=length(pages[1,]);
rows=length(pages[,1]);
 for(i in 1:rows){
    p1<-pages[i,1];
    p2<-pages[i,2];
    A[p2,p1]<-1;
  }
#转换为概率矩阵(转移矩阵)
csum<-colSums(A);
csum[csum==0] <- 1;
Arow=nrow(A);
for(i in 1:Arow){
  A[i,]<-A[i,]/csum;
}
#利用幂法求解特征向量
x <- rep(1,Arow);
for (i in 1:10) x <- A %*% x