2022 ICPC 济南站 E - Identical Parity // exgcd

题目来源：2022 International Collegiate Programming Contest, Jinan Site E

题目链接：https://codeforces.com/gym/104076/problem/E

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题意

有 $T$ 组案例，对于每个案例：

给定整数 $n$、$k$，问是否存在一种 $[1,n]$ 的排列，使得对于该排列所有长度为 $k$ 的子区间，它们区间和的奇偶性相同。

数据范围：$1\le T\le {10}^5$，$1\le k\le n\le {10}^9$.

思路：exgcd

可以视作有一个长度为 $k$ 的移动窗口，每次只会进入连续的 $k$ 个数，那么其往后移动一格时，就会弹出一个数，同时进入一个数，若要使得奇偶性保持不变，那么这两个数的奇偶性是需要一致的，于是满足条件的排列，应该满足：$p_i\equiv p_{i+k}\mathrm{mod}2$，其中 $1\le i\le n-k$。

于是整个排列可以按照 $imodk$ 的值，划分成 $k$ 块，我们需要为每个块分配奇偶性，其中，包含数字数量为 $\lfloor \frac{n}{k}\rfloor$ （记为 $a$）的块的数量为 $k-nmodk$（记为 $p$），包含数字数量为 $\lfloor \frac{n}{k}\rfloor +1$ （记为 $b$）的块的数量为 $nmodk$（记为 $q$）。

我们需要解决的问题实际上就是，找到一组整数解 $(x,y)$，使得 $xa+yb=\lfloor \frac{n}{2}\rfloor$，$x\in [0,p]$，$y\in [0,q]$ 同时成立。这个等式和取值限制的意义是，能找到一组合法的分配方案，使得取偶数的块的数字总数量等于 $[1,n]$ 范围内的偶数数量。

对于这个等式，可以用 exgcd 求得一组解 $(x_0,y_0)$，由于 $gcd(a,b)=1$，那么通解就是 $(x_0+m·b,y_0-m·a)$，根据两个取值范围的限制，可以二分或者公式，分别求出 $m$ 的取值范围 $[l_x,r_y]$，$[l_y,r_y]$，判断 $max(l_x,l_y)\le min(r_x,r_y)$ 是否成立即可。

时间复杂度：$O(T·logn)$.

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;

int exgcd(int a, int b, int& x, int& y)
{
    if(!b) {
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    int d = exgcd(b, a % b, x, y);
    int tmp = x;
    x = y, y = tmp - a / b * y;
    return d;
}

void solve()
{
    int n, k;
    cin >> n >> k;

    int a = n / k, p = k - n % k;
    int b = n / k + 1, q = n % k;

    int x, y;
    int d = exgcd(a, b, x, y);

    if(n / 2 % d) {
        cout << "No" << '\n';
        return;
    }

    x = x / d * (n / 2), y = y / d * (n / 2);

    int l = -1e9, r = 1e9;
    int l1 = r;
    while(l <= r) {
        int mid = l + r >> 1;
        if(x + mid * (b / d) >= 0) r = mid - 1, l1 = mid;
        else l = mid + 1;
    }

    l = -1e9, r = 1e9;
    int r1 = l;
    while(l <= r) {
        int mid = l + r >> 1;
        if(x + mid * (b / d) <= p) l = mid + 1, r1 = mid;
        else r = mid - 1;
    }

    l = -1e9, r = 1e9;
    int l2 = r;
    while(l <= r) {
        int mid = l + r >> 1;
        if(y - mid * (a / d) <= q) r = mid - 1, l2 = mid;
        else l = mid + 1;
    }

    l = -1e9, r = 1e9;
    int r2 = l;
    while(l <= r) {
        int mid = l + r >> 1;
        if(y - mid * (a / d) >= 0) l = mid + 1, r2 = mid;
        else r = mid - 1;
    }

    cout << (max(l1, l2) <= min(r1, r2) ? "Yes" : "No") << '\n';
}

signed main()
{
    cin.tie(0);
    ios::sync_with_stdio(false);

    int test;
    cin >> test;
    while(test--) solve();

    return 0;
}