2022 CCPC 威海站 D - Sternhalma // 状压dp + 记忆化搜索

题目来源：2022 China Collegiate Programming Contest Weihai Site D - Sternhalma

题目链接：https://codeforces.com/gym/104023/problem/D

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题意

在一个$19$个格子的六边形棋盘上，每个格子有一个固定的权值 $w_i$，格子上可以放置棋子。

可以进行以下两种操作：

• 移除某个格子上的棋子，获得 $0$ 权值.
• 将一个棋子，以与他相邻的棋子作为跳板，跳到对称位置，跳跃后，作为跳板的棋子被移除，并获得跳板棋子所在格子的权值 $w_i$.

有 $t$ 组案例，每组案例给出棋子的放置情况，要求输出最大能获得的权值和。

数据范围：$-{10}^6\le w_i\le {10}^6$，$1\le t\le {10}^4$.

思路：状压dp + 记忆化搜索

由于格子的数量只有 $19$ 个，考虑状态压缩，第 $i$ 位为 $0/1$ 表示第 $i$ 个格子 无/有 棋子。

记当前状态为 $state$，其第 $i$ 位为 $stat{e}_i$，其能获得的最大权值和为 $f[state]$，则

• 对于操作一

  若有 $stat{e}_i=1$，有转移 $f[state]=max(f[state],f[state-2^i])$.

• 对于操作二

  若有 $stat{e}_i=1$，记格子 $i$ 做跳板时，跳跃前后的格子为 $a$，$b$，若有$stat{e}_a=1andstat{e}_b=0$，则有转移 $f[state]=max(f[state],f[state-2^i-2^a+2^b])$.

为了方便转移，我们可以先将每个格子做跳板时，合法的跳跃前后的格子对，预处理出来。

因为格子的权值固定，因此可以用记忆化搜索。

时间复杂度：$O(t·n+2^n)$，其中 $n=19$.

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define endl '\n'
using namespace std;

const int N = 19;

int w[N], f[1 << N], vis[1 << N];
vector<pair<int,int>> v[N];  // v[i]：格子i作为跳板时，合法的跳跃前后格子
 
// 跳板格子，以及跳跃前后的两个格子
void add(int mid, int a, int b) 
{
    v[mid].push_back({a, b});
    v[mid].push_back({b, a});
}

int dfs(int state)
{
    if(vis[state]) return f[state];

    // Remove 
    for(int i = 0; i < N; ++ i) {
        if(!(state >> i & 1)) continue;
        f[state] = max(f[state], dfs(state - (1 << i)));
    }

    // Remove by jumping
    for(int i = 0; i < N; ++ i) {
        if(!(state >> i & 1)) continue;
        for(auto p : v[i]) {
            int a = p.first, b = p.second;
            if(!(state >> a & 1) || (state >> b & 1)) continue;
            f[state] = max(f[state], dfs(state - (1 << i) - (1 << a) + (1 << b)) + w[i]);
        }
    }

    vis[state] = 1;
    return f[state];
}

int main()
{
    cin.tie(0);
    ios::sync_with_stdio(false);

    for(int i = 0; i < N; ++ i) cin >> w[i];
    memset(f, -0x3f, sizeof f);
    f[0] = 0, vis[0] = 1;

    add(1, 0, 2);
    add(3, 0, 7);
    add(4, 0, 9), add(4, 1, 8), add(4, 3, 5);
    add(5, 1, 10), add(5, 2, 9), add(5, 4, 6);
    add(6, 2, 11);
    add(8, 3, 13), add(8, 4, 12), add(8, 7, 9);
    add(9, 4, 14), add(9, 5, 13), add(9, 8, 10);
    add(10, 5, 15), add(10, 6, 14), add(10, 9, 11);
    add(12, 7, 16);
    add(13, 8, 17), add(13, 9, 16), add(13, 12, 14);
    add(14, 9, 18), add(14, 10, 17), add(14, 13, 15);
    add(15, 11, 18);
    add(17, 16, 18);

    int test;
    cin >> test;
    while(test--) {
        string s, t;
        for(int i = 0; i < 5; ++ i) cin >> t, s += t;
        int state = 0;
        for(int i = 0; i < N; ++ i) {
            if(s[i] == '#') state += 1 << i;
        }
        cout << dfs(state) << endl;
    }

    return 0;
}