Codeforces Round #828 (Div. 3) E2 // 数论 + dfs

题目来源：Codeforces Round #828 (Div. 3) E2 - Divisible Numbers

题目链接：Problem - E2 - Codeforces

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题意

有 $t$ 组案例（$1\le t\le 10$），对于每个案例：给定四个整数$a,b,c,d$（$1\le a<c\le {10}^9,1\le b<d\le {10}^9$），求一组整数$x,y$，满足$a<x\le c$，$b<y\le d$，$ab|xy$，若不存在，则输出$-1-1$。

思路：数论 + dfs

由 $ab|xy$ 可知，存在整数$re{s}_1,re{s}_2$满足：$re{s}_1·re{s}_2=ab,re{s}_1|x,re{s}_2|y$，即 $re{s}_1,re{s}_2$ 为 $ab$ 的因数，$x$ 为 $re{s}_1$ 的倍数，$y$ 为 $re{s}_2$ 的倍数。

于是有如下做法：

1. 先对 $ab$ 分解质因数
2. 再dfs枚举 $ab$ 的第一个因数 $re{s}_1$，则 $re{s}_2=\frac{ab}{re{s}_1}$
3. 由于$a<x\le c$，$b<y\le d$，于是先找出大于 $a$ 的最小的 $re{s}_1$ 的倍数，以及大于 $b$ 的最小的 $re{s}_2$ 的倍数，即令$x=\lceil \frac{a+1}{re{s}_1}\rceil ·re{s}_1=\lfloor \frac{a+1+re{s}_1-1}{re{s}_1}\rfloor ·re{s}_1$ ，$y=\lceil \frac{b+1}{re{s}_2}\rceil ·re{s}_2=\lfloor \frac{b+1+re{s}_2-1}{re{s}_2}\rfloor ·re{s}_2$，若求出的值满足：$x\le c$，$y\le d$，则说明成功找出一组解。

记 $ab$ 的因数个数为 $\omega$，由于 $[1,{10}^{18}]$ 范围内的数的因数个数最多为$103680$，因此有 $\omega \le 103680$。
时间复杂度：$O(t·(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\omega ))$.

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define endl '\n'
#define LL long long
#define PII pair<int,int>
using namespace std;

int a, b, c, d;
map<int, int> mp;
vector<PII> v;
bool ok;

void getPrimes(int x)
{
    for(int i = 2; i <= x / i; ++ i) {
        while(x % i == 0) ++ mp[i], x /= i;
    }
    if(x > 1) ++ mp[x];
}

void dfs(int u, LL res)
{
    if(ok) return;
    if(u == v.size()) {
        LL res2 = (LL)a * b / res;
        LL x = (a + 1 + res - 1) / res * res, y = (b + 1 + res2 - 1) / res2 * res2;
        if(x <= c && y <= d) {
            cout << x << " " << y << endl;
            ok = true;
        }
        return;
    }
    LL mul = 1;
    for(int i = 0; i <= v[u].second; ++ i) {
        dfs(u + 1, res * mul);
        mul *= v[u].first;
    }
}

void solve()
{
    cin >> a >> b >> c >> d;

    mp.clear();
    getPrimes(a), getPrimes(b);

    v.clear();
    for(auto p : mp) v.push_back(p);

    ok = false;
    dfs(0, 1);
    if(!ok) cout << -1 << " " << -1 << endl;
}

int main()
{
    cin.tie(0);
    ios::sync_with_stdio(false);

    int test;
    cin >> test;
    while(test--) solve();

    return 0;
}