计算方法(一)——计算机求积分方法,机械求积法

 

机械求积法

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一、引言

  随着人工智能的兴起,在计算机领域又一次掀起了数学热,不管是传统的机器学习,还是现在的深度学习,都离不开积分的支撑,那计算机在底层到底是怎样求积分的呢?小编同大家一起探讨。

二、理论推导

    我们知道,在我们所学的微积分中我们是通过牛顿-莱布尼兹公式进行求解,然而在实际运用中我们往往会遇到比较复杂的函数,他们的原函数我们往往是找不到的,这个时候我们应该怎么求解呢?

  我们不难想的办法是定义法,也就是把区间进行划分,当分点非常多的时候我们就可以用矩形面积代替曲线所围成的面积,然而我们为了得到精度很高的结果往往需要划分等多区间,这样计算的次数将大大增加。

  那应该怎么优化呢?这里我们介绍一种求积分的办法:机械求积法。

  机械求积分法前戏:

     在微积分中我们求定积分时不仅有牛顿-莱布尼兹公式,同时还有积分中值定理:

     若函数闭区间 上连续,,则在积分区间上至少存在一个点,使下式成立

    

    其中,a、b、满足:a≤≤b。[

    我们从上式子出发,将求积分的问题转化为找某一个的问题,那怎么替代呢?

    假设我们的函数是一个0次函数也就是一个F(x) = C 是一个常函数时候,在[a,b]区间的定积分就是(a-b)*f(a),也就是矩形面积,这样我们的f()=f(a),我们继续加入是一次的呢?F(x) = ax + b

    我们很容易想到这个图形是一个梯形。

                                              

    因而其积分=(b-a)*[f(a)+f(b)]/2,这就是我们的梯形公式,这里的f()=[f(a)+f(b)]/2,那问题来了,要是函数是一个不规则的曲线呢?那我们该怎么做呢?

 

    很容易想到的就是把区间细分成很多个小区间,然后在每个区间找一个合适的f(),然后再求积分,再求和就好了,是的这就是们的思路,这个办法就是机械求积法。我们下面给出定义:

    机械求积法:

      

                      

三、代数精度概念

   在知道机械求积公式之后,那我们怎么检验一个求积公式的好坏的?这里我们引入代数精度的概念。

  定义:

     如果某个求积公式对于次数不超过m的多项式均能准确成立,而对于m+1次的的多项式不准确成立,则称该公式具有m次代数精度。

     (代数精度越高,越精确)

  我们来看看梯形公式的代数精度:(在验证时候只要取1,x,x^2,x^3.......等就行了,其他都可以由这几个组合而成)

    F(x) = (b-a)*[f(a)+f(b)]/2,当 f(x) = 1时候,设a=0,b=1,显然成立,而f(x) = x 时,用牛顿-莱布尼兹公式算得:x^2/2|100.5,而用梯形公式得到的也是0.5,这样对于f(x) = x时也精确成立,而当f(x) = x^2时候则不成了,那么我们就说

  梯形公式具有一次代数精度,其他的代数精度的确定方法也同上。

 

四、插值型求积公式

  我们在第二部分时候知道,我们的目的就是不断的划分区间直到有办法精确的求出积分(找到f()),此外呢,我们还可以通过插值法拟合曲线,把问题转化为数值问题。

  (没有接触插值法的可以移步) 见鬼吧拉格朗日插值法

  这里我们用插值得到的插值多项式子替代原函

    

   

 

  

这就是插值型积分公式,这样我们就通过插值法可以减少运算,然而这并不是我们最终要的,这只是个开始,更牛的还在后头,请持续关注Jack计算方法系列博客。

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posted @ 2017-11-08 22:32  coding==1?  阅读(10178)  评论(0编辑  收藏  举报