偶串——状态记忆

最初的思路：

　　两个for循环遍历字符串T所有的子串，并一个接一个的对子串进行是否是偶串的判断。最坏时间复杂度为O(n^3) （即当子串就是T时）。

　　显然这种思路不是最优的。

第一步优化方案：

　　对于字符串T=t1,t2,t3,...,tn。当其子串的开始位相同时，相邻子串之间的差异只是在增加了最后一个字符的改变。即

　　SUB(i,j)=ti,ti+1,ti+2,...,tj.

　　SUB(i,j+1)=ti,ti+1,ti+2,...,tj,tj+1.

　　SUB(i,j)与SUB(i,j+1)的差异仅仅是SUB(i,j+1)比前者多了一个字符tj+1。

　　所以我们可以用变量保持住SUB(i,j)中又哪些字符是奇数个，然后加入字符tj+1,直接判断SUB(i,j)是否是偶串。这样算法的时间复杂度降低至O(n^2)。

　　代码如下：

<?php
function getInput(){
    $str = trim(fgets(STDIN));
    return $str;
}

function pushChar($status,$char){
    if(0 == count($status))
        $status[$char] = 1;
    else{
        if(array_key_exists($char, $status))
            unset($status[$char]);
        else{
            $status[$char] = 1;
        }
    }
    return $status;
}

function main(){
    $str = getInput();
    $str_len = strlen($str);

    $num = 0;
    for($i=0;$i<$str_len;$i++){
        $single[$i][0] = array();
        for($j=1;$j<=$str_len-$i;$j++){
            //j为长度
            $char = $str[$i+$j-1];
            $single[$i][$j] = pushChar($single[$i][$j-1],$char);
            if(0 == count($single[$i][$j])){
                $num++;
            }
        }
    }
    echo $num."\n";
}

$startTime = microtime(true);
main();
$endTime = microtime(true);
$time = $endTime - $startTime;
echo '占用最大内存:'.memory_get_peak_usage()."\n";

 　　由代码可知，本代码的空间复杂度为O(n^2).（即O(n*(n+1)/2) ）。这在输入的字符串特别长时会报内存用尽的错误

报此错误时，输入的字符串长度为10000.这个时候由于消耗的内存超出了php.ini中设置的memory_limit=128M的上限而报错。

关于此错误的解释，可以参考文章：PHP Fatal error——内存用尽

因为我们只需要统计偶串的总数。因此在第二个for循环中并没有必要维护一个数组，只需要把上一个状态记录下来就可以了。

进一步优化：

我们在上一方案中，判断一个子串是否是偶串是通过数组实现的。当有新字符时，判断数组中是否存在key为新字符的元素，存在则unsset该元素。不存在，则设置该key，并设值为1.最后，通过count数组的元素个数，来判断子串时候为偶串。

实际上，上述操作就是模拟了异或操作，我们可以直接使用移位操作、异或操作来实现对子串是否为偶串的判断。

function pushChar($status,$char){
    $tmp = ord($char) - ord('a');
    $n = 1<<$tmp;
    $status ^= $n;
    return $status;
}

 

这样可以进一步的缩短代码的运行时间。

但是，在跑笔试用例时，仍然只有80%的通过率。异常情况出现在当输入的字符串长度为50000时，代码耗时10分钟才执行完毕。需要继续对代码优化。

终极优化：

下面是官方给出的终极版

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <fstream>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <deque>
#include <vector>
#include <queue>
#include <string>
#include <cstring>
#include <map>
#include <stack>
#include <set>

#define maxn 100009
using namespace std;
char s[maxn];
map<int,int>mp;
int n;
int main(){
    scanf("%s",s);
    n = strlen(s);
    mp[0] = 1;
    int cur = 0;
    long long ans = 0;
    for(int i = 0; i < n; i++){
        int x = s[i] - 'a';
        cur ^= (1 << x);
        ans += mp[cur];
        mp[cur]++;
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

 分析：

类似于前缀和，如果我们从字符串的第一个字符S[0]开始逐个遍历，并且将读到的字符S[i]存储在一个‘011100...100’的26位二进制数cur[i]中（0表示该位对应的字符在子串中的个数为偶数，1表个数为基数），用来表示当读取到当前字符时，子串S[0:i]中各个字符的状态。那么最多有2^26个可能的状态。

可能会存在cur[i] == cur[j]  （j>i>0) 的情况，这种情况就表明S[i+1:j]是偶串，

因为 cur[i+1] = cur[i] ^ ( 1 << (S[i+1] - 'a') )

　　cur[j] = cur[i] ^ (S[i+1:j]的cur值)

只有当 S[i+1:j]的cur值等于0时，cur[j] 才等于 cur[i]。

 

而当出现 cur[i] == cur[j] == cur[m] 时，就可以得到 S[i+1:j]、S[j+1:m]都是偶串  ==>进一步，可以知道S[i+1:m] 也是偶串。

设cur[i] == cur[j] == cur[m] == k ，并且mp[k]表示cur值为k的字串的数目，在遍历到字符S[i]前，mp[k]=0。在遍历了S[i]之后，mp[k]++。

则当cur值为k的子串数目一共有mp[k]个时，就表示在这些子串中最小偶串(指该偶串内部不再包含偶串)的数目为mp[k]-1，且这些最小偶串依次相邻。所以由这些最小偶串一共可以组成(mp[k]-1+1)(mp[k]-1)/2个不同的偶串。即(mp[k]*(mp[k]-1)/2个偶串。

而前一次检测到cur值等于k时，其mp[k] = a；在下一次检查到cur值等于k时，mp[k] = a+1;

这相邻两次所增加的偶串的个数就= (a+1)a/2 - a(a-1)/2 = a.

因此，在遍历整个字符串时，只需要在每次访问一个新的字符S[i]时，保存S[0:i]子串的cur值，以及该cur值出现的次数，每访问一个新的字符，则将对应cur值已经出现的次数加至表示偶串总数的sum中（当cur值第一次出现时对应的次数为0），这样遍历完整个字符串后就可以得到字符串中包含的偶串的总数。

特别的是，当访问字符串的字符时，出现cur等于0时，表示从起始到该字符为一个偶串，因此在遍历开始之前就需要给mp[0]赋初值为1，这样才能在第一次出现cur==0时，在偶串的总记录中加1。

总结：

在这种终极算法中，思想类似于前缀和，int型变量保存子串[a-z]字符的个数的奇、偶情况，每增加一个字符就是在前一个cur的基础上进行异或运算，通过cur值相等来寻找最小偶串，并进一步根据相邻相等cur时，增加的偶串的数目等于该cur值已经出现的次数（推到见上面）的特点，迭代的计算总的偶串和。

补充：这种算法的时间复杂度降低至了O(n), 空间复杂度最差为O(2^26) （即cur值最多可能有2^26种情况，需要2^26个mp变量来保存该cur值出现的次数，上面的代码中用int存储cur值，那么在最坏的情况下，会消耗 (2^26)*4byte 大约256M的内存空间）。

php实现：

<?php
function getInput(){
    $str = trim(fgets(STDIN));
    return $str;
}

function main(){
    $str = getInput();
    $str_len = strlen($str);

    $num = 0;
    $cur = 0;
    $mp = array();
    $mp[0] = 1;
    for($i=0;$i<$str_len;$i++){
           $x = ord($str[$i]) - ord('a');
           $cur ^= (1<<$x);
           if(!isset($mp[$cur]))
                $mp[$cur] = 0;
           $num += $mp[$cur];
           $mp[$cur]++;
        }
    echo $num;
}
main();