图论

图的概念：

 

1、图的概念
G=(V，E)
图G由节点集合V=V(G)和边集合E=E(G)组成，其中V为非空有限集合。
集合V中的节点（node）用红色标出，通过集合E中黑色的边（edge）连接。

 

 

G的边：E中的每个顶点对（u，v）称为G的边
边的端点：用e表示集合E中的一个顶点对e=(u, v)，称u,v为边e的端点
邻接顶点：称u和v是邻接的顶点
关联：一条边的端点称为与这条边关联
邻接的边：若两条不同的边与一个公共的端点关联，称这两条边是邻接的
多重边：若联结两个顶点有不止一条边，这些边称为多重边
环：顶点重合为一点的边称为环
简单图 ：没有环也没有多重边的图称为简单图

 

空图：没有边的图称为空图
完全图：完全图是一个简单的无向图，其中每对不同的顶点之间都有一条边相连

子图：所有顶点和边都属于图G的图称为G的子图

 

2、连通图
连通图：图中任意两点之间均至少有一条通路，否则称为不连通图
连通图：在无向图中, 若从顶点v1到顶点v2有路径, 则称顶点v1与v2是连通的。如果图中任意一对顶点都是连通的,则称此图是连通图。

 

强连通和弱连通的概念只在有向图中存在

强连通图：在有向图中, 若对于每一对顶点v1和v2, 都存在一条从v1到v2和从v2到v1的路径,则称此图是强连通图。

弱连通图：将有向图的所有的有向边替换为无向边，所得到的图称为原图的基图。如果一个有向图的基图是连通图，则有向图是弱连通图。

 

1）连通图和完全图的区分（无向图）

总结性话语： 完全图一定是连通图，但连通图不一定是完全图。

定义

连通图：图中任意两个顶点都有 路径 存在
完全图：图中任意两个顶点都有 边 存在

解释

路径，可以是借道到达目标顶点
边，一定是两个顶点相连

2）强连通和有向完全图的区分（有向图）
总结性话语： 有向完全图一定是强连通图，但强连通图不一定是有向完全图

定义：
强连通：图中任何两个顶点都有 路径 存在
有向完全图：图中任意两个顶点都有 方向相反的两条边 存在

解释
路径，同上
方向相反的两条边，如 A --> B，B --> A，这是直接与两个顶点发生关系的。

无向图
相邻：两个顶点之间有边。
路径：相邻顶点序列称为路径。
圈：起点和终点重合的路径称为圈。
连通图：任意两点之间都有路径连接的图叫做连通图。
度：顶点连接的边数叫做这个顶点的度。
树：没有圈的连通图叫做树。

树的重要性质:一棵树的边数恰好是顶点数-1；反之，边数等于顶点数-1的连通图就是一颗树。

有向图
DAG：没有圈的有向图叫做DAG。

 

生成树：一个连通图的最小连通子图称作该图的生成树。有n个顶点的连通图的生成树有n个顶点和n - 1条边

 最小生成树：一个连通图的生成树可能有多个。边的权值之和最小的生成树是最小生成树

 

完全图：

无向完全图：在n个顶点的无向图中，若有n(n-1)/2条边，即任意两个顶点之间有且仅有一条边，则称此图为无向完全图
有向完全图：在n个顶点的有向图中，若有n(n-1)条边，即任意两个顶点之间有且仅有方向相反的边，则称此图为有向完全图

 

最小生成树算法：

参考Dijkstra迪杰斯特拉算法 C++实现_dijkstra算法 两个方向权重不一样_Cy_coding的博客-CSDN博客

1、迪杰斯特拉

定义：从一个顶点到其余各顶点的最短路径算法，解决的是有权图中最短路径问题。迪杰斯特拉算法主要特点是从起始点开始，采用贪心算法的策略，每次遍历到始点距离最近且未访问过的顶点的邻接节点，直到扩展到终点为止。

 

 

其中，ABCDE就是我们需要遍历的节点，连接节点的弦上的数字表示了两节点之间的"距离"，或称之为权重，消耗。需要注意的几点是 :

迪杰斯特拉算法适用的有权图中，节点之间的权重不要求是双向的，即 A-> B的权重和 B->A 的权重不要求相同。换而言之，有权图中节点之间的连接可以是单向的，或者在两个方向权重有所不同的。
迪杰斯特拉算法适用的有权图中，节点间连接的权重值不能是负值。
了解了迪杰斯特拉算法的一些注意点之后，我们下面来重点解释算法的实现。之前我们已经提到了，迪杰斯特拉算法多用于解决最短路径问题，对应上述有权图就是计算出所有节点到初始节点的最短距离。在下述例子中，我们默认使用A作为初始节点,目标就是找出所有节点到A的最短距离以及所经过的路径。
首先我们需要两个列表，一个visited列表用于存放已经遍历过其所有邻节点的节点，一个unvisited列表用于存放还未遍历过其所有邻节点的节点。我们会不断地进行迭代运算，直到unvisited列表为空，即所有的节点都已经访问过(遍历过其所有邻节点)。
显然初始状态，visited列表为空[]，unvisited列表中包含所有的节点[A,B,C,D,E]。
然后我们需要一个列表用于记录所有节点到A节点，起始节点之间的最短距离，以及最短路径中该节点之前的节点。
第一步，初始化这个表格 :
显然A到A的距离为0，其余节点到A的距离为未知，初始化为正无穷。

 

那么每一次迭代，我们需要做的，就是在unvisited列表中，选择一个到A距离最短的节点，并遍历更新其所有unvisited列表中的邻节点。
例如第一次迭代中，unvisited未访问列表中A节点到A的最短距离最短，那么我们首先就访问A所有unvisited的节点 B 和 D。简单来说，如果通过A访问B比起之前的方式要距离更短，那么我们就更新B到初始点的距离为新的最短距离，并将B之前的节点更新为A。那么在这个例子中，通过A访问B的距离为6，通过A访问D的距离为1，显然距离都比正无穷要小，则更新列表如下 :

 

 

 

 

 

弗洛伊德

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int INF = INT_MAX;
int n,m,a[1001][1001],f[1001][1001];
int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=n;j++){
            if(i==j) f[i][j]=0;
            else f[i][j]=INF;
        }
    }
    int a,b,c;
    for(int i=0;i<m;i++){
        cin>>a>>b>>c;
        f[a][b]=c;
    }
    for(int k=1;k<=n;k++){
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=1;j<=n;j++){
                if(f[i][j]>f[i][k]+f[k][j]){
                    f[i][j]=f[i][k]+f[k][j];
                }
            }
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=n;j++){
            cout<<f[i][j]<<" ";
        }
        cout<<endl;
    }
    return 0;
}

 图论学习笔记 - _逃离地球 - 博客园 (cnblogs.com)

 

最小生成树：

Prim算法

算法思路： 
从已选顶点所关联的未选边中找出权重最小的边，并且生成树不存在环。

其中，已选顶点是构成最小生成树的结点，未选边是不属于生成树中的边。

（普里姆算法与求最短路径的迪杰斯塔拉算法思想很类似）

下面我们对下面这幅图求其最小生成树：

 

 假设我们从顶点v1开始，所以我们可以发现（v1,v3）边的权重最小，所以第一个输出的边就是：v1—v3=1: 

 

然后，我们要从v1和v3作为起点的边中寻找权重最小的边，首先了（v1,v3）已经访问过了，所以我们从其他边中寻找，发现(v3,v6)这条边最小，所以输出边就是：v3—-v6=4 

 

 然后，我们要从v1、v3、v6这三个点相关联的边中寻找一条权重最小的边，我们可以发现边(v6,v4)权重最小，所以输出边就是：v6—-v4=2. 

 然后，我们就从v1、v3、v6、v4这四个顶点相关联的边中寻找权重最小的边，发现边（v3，v2）的权重最小，所以输出边：v3—–v2=5

 然后，我们就从v1、v3、v6、v4，v2这2五个顶点相关联的边中寻找权重最小的边，发现边（v2，v5）的权重最小，所以输出边：v2—–v5=3 

 最后，我们发现六个点都已经加入到集合U了，我们的最小生成树建立完成。

克鲁斯卡算法

算法思路： 
（1）将边按权值从小到大的顺序添加到新图中，保证添加的过程中不会形成环 
（2）重复上一步直到连接所有顶点，此时就生成了最小生成树。这是一种贪心策略。

将图中所有边按照权重的大小 从小到大一个一个按顺序组合成最小生成树，在组合过程新加入的边会导致生成树形成环，那这条边就舍弃，直到所有顶点都添加到生成树中为止。

这里同样我们给出一个和Prim算法讲解中同样的例子，模拟克鲁斯卡算法生成最小生成树的详细的过程：

首先完整的图如下图： 

 然后，我们需要从这些边中找出权重最小的那条边，可以发现边（v1，v3）这条边的权重是最小的，所以我们输出边：v1—-v3=1 

 然后，我们需要在剩余的边中，再次寻找一条权重最小的边，可以发现边（v4，v6）这条边的权重最小，所以输出边：v4—v6=2 

 
然后，我们再次从剩余边中寻找权重最小的边，发现边（v2，v5）的权重最小，所以可以输出边：v2—-v5=3， 

 
然后，我们使用同样的方式找出了权重最小的边：（v3，v6），所以我们输出边：v3—-v6=4 

 好了，现在我们还需要找出最后一条边就可以构造出一颗最小生成树，但是这个时候我们有三个选择：（v1,V4），（v2，v3），（v3，v4）,这三条边的权重都是5，首先我们如果选（v1，v4）的话，得到的图如下： 

 我们发现，这肯定是不符合我们算法要求的，因为它出现了一个环，所以我们再使用第二个（v2，v3）试试，得到图形如下： 

 

我们发现，这个图中没有环出现，而且把所有的顶点都加入到了这颗树上了，所以（v2，v3）就是我们所需要的边，所以最后一个输出的边就是：v2—-v3=5

OK，到这里，我们已经把克鲁斯卡算法过了一遍