试题 历届试题 波动数列

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原题解：https://www.acwing.com/solution/content/7507/

用到了数论和动态规划的知识。假定第一个数为x，第二个数为x + p₁（p_i为+a或者-b），第三个数为x + p₁ + p₂， ......，由于和为s，则n * x + (n - 1) * p₁ + (n - 2) * p₂ + ...... + p_(n-1) == s，

则此时（重点来了）：

　　　　　　　　　　s ≡ (n - 1) * p₁ + (n - 2) * p₂ + ...... + p_(n-1) (mod n)。

对于mod n，最多1000种可能，我们设立d数组d[i][j]的i代表(n - 1) * p₁ + (n - 2) * p₂ + ...... + p_(n-1)数列从后往前选取了i个p的时候余数为j的情况下拥有的可能数量。

由此我们得到递推公式：

　　　　　　　　　　d[i][j] = d[i - 1][j - a * i] + d[i - 1][j + b * i];

（p_i的系数，（最后一个p(n-1)的系数是1，第一个的系数是(n-1)，每次决定p是+a还是-b时都要乘以系数。）

由于s与数列对n同模，则d[n -1][s % n]代表选取了从后往前的n-1项（也就是全选完时），同时数列余数与s关于n同模的结果。

此时的个数就是最终要的答案，因为数列的值加上x个n最后的和就是s，所以全选完时，数列的和的余数为s%n的情况下加上(x+y)个n（因为数列的和也对n求过模了，我们假设和为d[n-1][s%n] + y * n）就是s了，而其他余数均不可能满足题目要求。

还要注意，算出来的j-a * i或是j + b * i 或是给的s都有可能为负数，得到一个正数的下标才能得到正确的答案，所以我们采用return (x % n + n) % n得到x（不管正负）关于n的模。

ac代码：

 

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int d[1005][1005];
const int MOD = 100000007;
int n, s, a, b;
int cal(int x)
{
    return ((x % n) + n) % n;//(x + n）不一定大于n，所以不能用(x + n) % n来得到余数
}
int main()
{
    scanf("%d %d %d %d", &n, &s, &a, &b);
    d[0][0] = 1;
    for (int i = 1; i < n; ++i)
    {
        for (int j = 0; j < n; ++j)
        {
            d[i][j] = (d[i - 1][cal(j - a * i)] + d[i - 1][cal(j + b * i)]) % MOD;
        }
    }
    printf("%d\n", d[n - 1][cal(s)]);//s可能为负数
    return 0;
}