巧记三角函数[和差化积]&[积化和差]

和差化积公式

\[\begin{align} 帅+帅=帅哥 \ \ \ \ \ & \sin \alpha + \sin \beta = 2\sin{\frac{\alpha+\beta}{2}}\cos{\frac{\alpha-\beta}{2}} \\ 帅-帅=哥帅 \ \ \ \ \ & \sin \alpha - \sin \beta = 2\cos{\frac{\alpha+\beta}{2}}\sin{\frac{\alpha-\beta}{2}} \\ 哥+哥=哥哥 \ \ \ \ \ & \cos \alpha + \cos \beta = 2\cos{\frac{\alpha+\beta}{2}}\cos{\frac{\alpha-\beta}{2}} \\ 哥-哥=负嫂嫂 \ \ & \cos \alpha - \cos \beta = -2\sin{\frac{\alpha+\beta}{2}}\sin{\frac{\alpha-\beta}{2}} \\ \end{align} \]

• 帅 + 帅 = 帅哥
• 帅 - 帅 = 哥帅
• 哥 + 哥 = 哥哥
• 哥 - 哥 = 负嫂嫂

积化和差公式

\[\begin{align} 帅哥 = 帅 + 帅 \ \ \ \ \ &\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} [\sin{(\alpha+\beta)}+\sin{(\alpha-\beta)}] \\ 哥帅 = 帅 - 帅 \ \ \ \ \ &\cos \alpha \sin \beta = \frac{1}{2} [\sin{(\alpha+\beta)}-\sin{(\alpha-\beta)}] \\ 哥哥 = 哥 + 哥 \ \ \ \ \ &\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} [\cos{(\alpha+\beta)}+\cos{(\alpha-\beta)}] \\ 负嫂嫂 = 哥 - 哥 \ \ &\sin \alpha \sin \beta = -\frac{1}{2} [\cos{(\alpha+\beta)}-\cos{(\alpha-\beta)}] \\ \end{align} \]

• 帅哥 = 帅 + 帅
• 哥帅 = 帅 - 帅
• 哥哥 = 哥 + 哥
• 负嫂嫂 = 哥 - 哥

前后相随，表里如一

前后相随（前后项数统一）：

• 积是一项，化和差后要 \(\div2\)
• 和差是两项，化积后要成 \(\times 2\)

表里如一（内外项数统一）：

• 括号内变量都是先 \(\alpha + \beta\) ，再 \(\alpha - \beta\) 。
• 化和差后是两项， \(\alpha \pm \beta\) 两项不变；
• 化积后是一项， \(\alpha \pm \beta\) 要 \(\div2\) 变一项。