复杂度
算法分析的渐近阶的解释:
- f(n) = O(g(n)):∃c>0,n0∈N,∀n≥n0,f(n)≤cg(n)∃c>0,n0∈N,∀n≥n0,f(n)≤cg(n) ;f的阶不高于g的阶。
- f(n) = Ω(g(n)):∃c>0,n0∈N,∀n≥n0,f(n)≥cg(n)∃c>0,n0∈N,∀n≥n0,f(n)≥cg(n) ;f的阶不低于g的阶。
- f(n) = θ(g(n)):⟺f(n)=O(g(n))&&f(n)=Ω(g(n))⟺f(n)=O(g(n))&&f(n)=Ω(g(n)) ;f的阶等于g的阶。
- f(n) = o(g(n)):∀ε>0,∃n0∈N,∀n≥n0,f(n)/g(n)<ε∀ε>0,∃n0∈N,∀n≥n0,f(n)/g(n)<ε ;f的阶低于g的阶。
可见,记号O给出了函数f(n)在渐进意义下的上界(但不一定是最小的),相反,记号Ω给出的是下界(不一定是最大的)。如果上界与下界相同,表示f(n)和g(n)在渐进意义下是同阶的(θ),亦即复杂度一样。
Mster定理分析:
T(n)=aT(n/b)+f(n)型方程; a>=1;b>0常数;f(n)正整数;
(1):提供一个简便的方法(但是我并没有怎么理解,老师给的)
比较f(n)和N的log以b为底a的对数次幂大小;
若f(n)小,T(n)=N的log以b为底a的对数次幂;
若f(n)大,T(n)=f(n);
若相等;T(n)=N的log以b为底a的对数次幂乘以log以2为底n的对数。
(2)
平时设计或者阅读一个算法的时候,必然会提到算法的复杂度(包括时间复杂度和空间复杂度)。比如我们说一个二分查找算法的平均时间复杂度为O(log n),快速排序可能是O(n log n)。那这里的O是什么意思?这样的表达是否准确呢?
今天来复习一下与算法复杂度相关的知识:函数渐进阶,记号O、Ω、θ和o;Master定理。
先插一句,在算法复杂度分析中,log通常表示以2为底的对数。
算法复杂度(算法复杂性)是用来衡量算法运行所需要的计算机资源(时间、空间)的量。通常我们利用渐进性态来描述算法的复杂度。
用n表示问题的规模,T(n)表示某个给定算法的复杂度。所谓渐进性态就是令n→∞时,T(n)中增长最快的那部分。严格的定义是:如果存在T˜(n)T~(n) ,当n→∞时,有
就说T˜(n)T~(n) 是T(n)当n→∞时的渐进性态。
比如T(n) = 2 * n ^ 2 + n log n + 3,那么显然它的渐进性态是 2 * n ^ 2,因为当n→∞时,后两项的增长速度要慢的多,可以忽略掉。引入渐进性态是为了简化算法复杂度的表达式,只考虑其中的主要因素。当比较两个算法复杂度的时候,如果他们的渐进复杂度的阶不相同,那只需要比较彼此的阶(忽略常数系数)就可以了。
总之,分析算法复杂度的时候,并不用严格演算出一个具体的公式,而是只需要分析当问题规模充分大的时候,复杂度在渐进意义下的阶。记号O、Ω、θ和o可以帮助我们了解函数渐进阶的大小。
假设有两个函数f(n)和g(n),都是定义在正整数集上的正函数。上述四个记号的含义分别是:
- f(n) = O(g(n)):∃c>0,n0∈N,∀n≥n0,f(n)≤cg(n)∃c>0,n0∈N,∀n≥n0,f(n)≤cg(n) ;f的阶不高于g的阶。
- f(n) = Ω(g(n)):∃c>0,n0∈N,∀n≥n0,f(n)≥cg(n)∃c>0,n0∈N,∀n≥n0,f(n)≥cg(n) ;f的阶不低于g的阶。
- f(n) = θ(g(n)):⟺f(n)=O(g(n))&&f(n)=Ω(g(n))⟺f(n)=O(g(n))&&f(n)=Ω(g(n)) ;f的阶等于g的阶。
- f(n) = o(g(n)):∀ε>0,∃n0∈N,∀n≥n0,f(n)/g(n)<ε∀ε>0,∃n0∈N,∀n≥n0,f(n)/g(n)<ε ;f的阶低于g的阶。
可见,记号O给出了函数f(n)在渐进意义下的上界(但不一定是最小的),相反,记号Ω给出的是下界(不一定是最大的)。如果上界与下界相同,表示f(n)和g(n)在渐进意义下是同阶的(θ),亦即复杂度一样。
列举一些常见的函数之间的渐进阶的关系:
- logn!=Θ(nlogn)logn!=Θ(nlogn)
- logn2=Θ(logn)logn2=Θ(logn)
- logn2=O(n−−√)logn2=O(n)
- n=Ω(log2n)n=Ω(log2n)
- log2n=Ω(logn)log2n=Ω(logn)
- 2n=Ω(n2)2n=Ω(n2)
- 2n=O(3n)2n=O(3n)
- n!=o(nn)n!=o(nn)
- 2n=o(n!)2n=o(n!)
有些人可能会把这几个记号跟算法的最坏、最好、平均情况复杂度混淆,它们有区别,也有一定的联系。
即使问题的规模相同,随着输入数据本身属性的不同,算法的处理时间也可能会不同。于是就有了最坏情况、最好情况和平均情况下算法复杂度的区别。它们从不同的角度反映了算法的效率,各有用处,也各有局限。
有时候也可以利用最坏情况、最好情况下算法复杂度来粗略地估计算法的性能。比如某个算法在最坏情况下时间复杂度为θ(n ^ 2),最好情况下为θ(n),那这个算法的复杂度一定是O(n ^ 2)、Ω(n)的。也就是说n ^ 2是该算法复杂度的上界,n是其下界。
接下来看看Master定理。
有些算法在处理一个较大规模的问题时,往往会把问题拆分成几个子问题,对其中的一个或多个问题递归地处理,并在分治之前或之后进行一些预处理、汇总处理。这时候我们可以得到关于这个算法复杂度的一个递推方程,求解此方程便能得到算法的复杂度。其中很常见的一种递推方程就是这样的:
设常数a >= 1,b > 1,f(n)为函数,T(n)为非负整数,T(n) = a T(n / b) + f(n),则有:
- 若f(n)=O(nlogba−ε),ε>0f(n)=O(nlogba−ε),ε>0 ,那么T(n)=Θ(nlogba)T(n)=Θ(nlogba) 。
- 若f(n)=Θ(nlogba)f(n)=Θ(nlogba) ,那么T(n)=Θ(nlogbalogn)T(n)=Θ(nlogbalogn) 。
- 若f(n)=Ω(nlogba+ε),ε>0f(n)=Ω(nlogba+ε),ε>0 ,并且对于某个常数c < 1和充分大的n有af(n/b)≤cf(n)af(n/b)≤cf(n) ,那么T(n)=Θ(f(n))T(n)=Θ(f(n)) 。
比如常见的二分查找算法,时间复杂度的递推方程为T(n) = T(n / 2) + θ(1),显然有nlogba=n0=Θ(1)nlogba=n0=Θ(1) ,满足Master定理第二条,可以得到其时间复杂度为T(n) = θ(log n)。
再看一个例子,T(n) = 9 T(n / 3) + n,可知nlogba=n2nlogba=n2 ,令ε取1,显然满足Master定理第一条,可以得到T(n) = θ(n ^ 2)。
来一个稍微复杂一点儿例子,T(n) = 3 T(n / 4) + n log n。nlogba=O(n0.793)nlogba=O(n0.793) ,取ε = 0.2,显然当c = 3 / 4时,对于充分大的n可以满足a * f(n / b) = 3 * (n / 4) * log(n / 4) <= (3 / 4) * n * log n = c * f(n),符合Master定理第三条,因此求得T(n) = θ(n log n)。
运用Master定理的时候,有一点一定要特别注意,就是第一条和第三条中的ε必须大于零。如果无法找到大于零的ε,就不能使用这两条规则。
举个例子,T(n) = 2 T(n / 2) + n log n。可知nlogba=n1nlogba=n1 ,而f(n) = n log n,显然不满足Master定理第二条。但对于第一条和第三条,也无法找到大于零的ε使得nlogn=O(n1−ε)nlogn=O(n1−ε)或者nlogn=Ω(n1+ε)nlogn=Ω(n1+ε) ,因此不能用Master定理求解,只能寻求别的方式求解。比如可以利用递归树求出该算法的复杂度为T(n)=O(nlog2n)T(n)=O(nlog2n) 。简单的说一下计算过程:
递归树的建立过程,就像是模拟算法的递推过程。树根对应的是输入的规模为n的问题,在递归处理子问题之外,还需要n log n的处理时间。然后根据递推公式给根节点添加子节点,每个子节点对应一个子问题。这里需要两个子节点,每个节点处理规模为n / 2的问题,分别需要(n / 2) * log(n / 2)的时间。因此在第二层一共需要n * (log n - 1)的时间。第三层节点就是将第二层的两个节点继续分裂开,得到四个各需要(n / 4) * log(n / 4)时间的节点,总的时间消耗为n * (log n - 2)。依此类推,第k(设树根为k = 0)层有2 ^ k的节点,总的时间为n * (log n - k)。而且可以知道,这棵树总共有log n层(最后一层每个节点只处理规模为1的子问题,无须再分治)。最后将每一层消耗的时间累加起来,得到: