租用游艇问题[动态规划]
问题:
长江游艇俱乐部在长江上设置了n个游艇出租站1,2,3…,n。
游客可以在这些游艇出租站用游艇,并在下游的任何一个游艇出租站归还游艇。
游艇出租站i到游艇出租站j之间的租金为r(i,j),1<=i<j=n。
试设计一个算法,计算从游艇出租站1到出租站n所需的最少租金。
数据输入:
第一行表示有n个站点。
接下来n-1行是r( i , j)。
输入示例(有3个站点,从 1 到 2 要 5,从 1 到 3 要 15,从 2 到 3 要 7):
3
5 15
7
数据输出:
输出最从游艇出租站1到出租站n所需的最少租金。
分析:
假设从第 i 站到第 j 站的最优办法是:从 i 到 k (i<=k<=j),再从 k 到 j ,即 r( i , k )+r( k , j )。则用r( i , k )+r( k , j )代替r( i , j )。
算法思路:
初始化,先定义一个二维数组m[][],将输入的数据r(i,j)存至m[i][j]。
接着从长度为 2 的开始找较优解(比如说从 1 到 2 就是长度为 2的),直到找到长度为 n 的。具体做法就是分析中所说的。
这样计算后,所有数据都在 m 数组中了,我们只要输出 m[1][n]即可。
计算顺序:
ps:我发现动态规划的题目都很类似,只要掌握了其特点(我觉得就是用一个数组来表示解,然后在循环中依据子问题不断计算上一层的父问题),就很好解决。
代码如下:
#include<iostream>
#include<fstream>
#include<string>
using namespace std;
void main()
{
ifstream input("input.txt");
ofstream output("output.txt");
int n;
int m[200][200] = { 0 };
input >> n;
for (int i = 1; i <= n - 1; i++)
{//初始化,将所有r(i,j)都先存在数组m中
for (int j = i + 1; j <= n; j++)
{
input >> m[i][j];
}
}
for (int r = 2; r <= n; r++)
{//接着从长度为 2 的开始找较优解(比如说从 1 到 2 就是长度为 2的),直到找到长度为 n 的
for (int i = 1; i <= n - r + 1; i++)
{
int j = i + r - 1;// r(i,j)的长度为r
for (int k = i; k <= j; k++)
{//在 i 到 j 中找某一站 k,使得r(i,k)+r(k,j)最小
int t = m[i][k] + m[k][j];
if (t < m[i][j])
{
m[i][j] = t;//用较优解替换原来的r(i,j)
}
}
}
}
output << m[1][n] << endl;
input.close();
output.close();
}