树是一种一对多的逻辑结构，树的子树之间没有关系。
度：结点拥有的子树数量。
树的度：树中所有结点的度的最大值。
结点的深度：从根开始，自顶向下计数。
结点的高度：从叶结点开始，自底向上计数。
树的性质：①树的结点数等于所有结点的度数加1；②度为m的树中第i层上至多有mi-1个结点（i>=1）；③度为h的m叉数至多有(mh-1)/(m-1)个结点；④具有n个结点的m叉树的最小高度为[logm(n(m-1)+1)]。
树的表示方法：
①双亲表示法（顺序表示法）：根节点parent=-1
typedef char ElemType; typedef struct TNode{ ElemType data; //结点数据 int parent; //该结点双亲在数组中的下标 }TNode; //结点数据类型 #define MaxSize 50 typedef struct{ TNode nodes[MaxSize]; //结点数组 int n; //结点数量 }Tree; //树的双亲表示结构
②孩子表示法：把每个孩子的孩子结点排列起来存储成一个单链表，n个结点就有n个单链表，n个单链表的头指针又存储在一个顺序表（数组）中
typedef char ElemType; typedef struct CNode{ int child; //该孩子在表头数组的下标 struct CNode *next; //指向该结点的下一个孩子结点 }CNode,*Child; //孩子结点数据类型 typedef struct{ ElemType data; //结点数据域 Child firstchild; //指向该结点的第一个孩子结点 }TNode; //孩子结点数据类型 #define MaxSize 100 typedef struct{ TNode nodes[MaxSize]; //结点数据域 int n; //树中的结点个数 }Tree; //树的孩子表示结构
③孩子兄弟表示法：分别指向孩子结点和兄弟结点，其结点结构为：
typedef char ElemType; typedef struct CSNode{ ElemType data; //该结点的数据域 struct CSNode *firstchild,*rightsib; //指向该结点的第一个孩子结点和该结点的右兄弟结点 }CSNode; //孩子兄弟结点数据类型
二叉树：①每个结点最多有两棵子树；②左右子树有顺序。
二叉树的种类：①斜二叉树；②满二叉树；③完全二叉树。
满二叉树是绝对的等腰三角形，每一个非叶子结点都有两个子树，而完全二叉树的结点个数随意，只需满足其层序遍历的序号与满二叉树相同即可。
二叉树的顺序存储：用一组地址连续的存储单元依次自上向下，自左至右存储完全二叉树上的结点元素，非完全二叉树需在对应空缺编号处保留数组空位，这是一种极其浪费的存储方式。
二叉树的链式存储：
①二叉链表：两个指针指向左右孩子结点。其实现为：
typedef struct BiTNode{ ELemType data; struct BiTNode *lchild,*rchild; }BiTNode,*BiTree;
②三叉链表：在二叉链表的基础上添加一个指针指向双亲。
二叉树的遍历：按某种次序依次访问树中的每个结点，使得每个结点均被访问人一次，而且仅被访问一次。
有以下四种方法：
①先序遍历：a.访问根节点；b.先序遍历左子树；c.先序遍历右子树。
递归实现：
void PreOrder(BiTree T){ if(T!=NULL){ printf("%c",T->data); //访问根节点 PreOrder(T->lchild); //递归遍历左子树 PreOrder(T->rchild); //递归遍历右子树 } }
非递归实现：在实现过程中利用了栈的思想
void PreOrder(BiTree b){ InitStack(s); BiTree p=b; //工作指针p while(p||!IsEmpty(s)){ while(p){ printf("%c",p->data); Push(s,p); //进栈 p=p->lchild; } if(!IsEmpty(s)){ p=P0p(s); p=p->rchild; } } }
②中序遍历：a.中序遍历左子树；b.访问根节点；c.中序遍历右子树。
递归实现：
void InOrder(BiTree T){ if(T!=NULL){ InOrder(T->lchild); //递归遍历左子树 printf("%c",T->data); //访问根节点 InOrder(T->rchild); //递归遍历右子树 } }
非递归实现：
void InOrder(BiTree b){ InitStack(s); BiTree p=b; while(p||!IsEmpty(s)){ while(p){ Push(s,p); p=p->lchild; } p=Pop(s); printf("%c",p->data); p=p->rchild; } }
③后序遍历：a.后序遍历左子树；b.后序遍历右子树；c.访问根节点。
递归实现：
void PostOrder(BiTree T){ if(T!=NULL){ PostOrder(T->lchild); //递归遍历左子树 PostOrder(T->rchild); //递归遍历右子树 printf("%c",T->data); //访问根节点 } }
非递归实现：
void PostOrder(BiTree b){ InitStack(s); BiTree p=b,r=NULL; //工作指针p，辅助指针r while(p||!IsEmpty(s)){ //从根节点到最左下角的左子树都入栈 if(p){ Push(s,p); p=p->lchild; } else{ GetTop(s,p); //取栈顶，不是出栈 if(p->rchild&&p->rchild!=r) //如果栈顶存在右子树且未被访问过，就去访问 p=p->rchild; else{ //不存在右子树或者被访问过，则出栈 Pop(s,p); printf("%c",p->data); r=p; p=NULL; } } } }
④层序遍历：从上向下逐层遍历，在同一层中，从左到右对结点逐个访问。
层序遍历没有递归实现，只有非递归实现：其采用了队列的思想
void LevelOrder(BiTree b){ InitQueue(Q); BiTree p; EnQueue(Q,b); //根结点入队 while(!IsEmpty(Q)){ //队列不空循环 DeQueue(Q,p) //队头元素出队 printf("%c",p->data); if(p->lchild!=NULL) EnQueue(Q,p->lchild); if(p->rchild!=NULL) EnQueue(Q,p->rchild); } }
如何将一棵树转化成二叉树：①将同一结点的各个孩子用线串起来；②将每个结点的子树分支，从左往右，除了第一个以外全部删除。
将二叉树转化成树：将二叉树从上到下分层，并调节成水平方向，之后是正向转化的逆过程。
一个重要结论：n个结点的二叉链表，每一个结点都有指向左右孩子的结点指针，所以一共有2n个指针，而n个结点的二叉树一共有n-1条分支，也就是存在2n-(n-1)=n+1个空指针。
线索二叉树：指向前驱和后继的指针称为线索，加上线索的二叉链表就称为线索链表，相应的二叉树就称为线索二叉树。对二叉树以某种次序遍历使其变成线索二叉树的过程叫作线索化。
下面我们以中序遍历作为例子，实现线索二叉树，并对其遍历：
线索二叉树的实现：
typedef struct ThreadTNode{ ELemType data; struct ThreadTNode *lchild,*rchild; int ltag,rtag; //tag=0指向孩子，tag=1指向前驱或者后继 }ThreadTNode,*ThreadTree; void InThread(ThreadTree &p,ThreadTree &pre){ //pre指向中序遍历时上一个刚刚访问过的结点，初值为NULL if(p){ InThread(p->lchild,pre); if(p->lchild==NULL){ p->lchild=pre; p->ltag=1; } if(pre!=NULL&&pre->rchild==NULL){ pre->rchild=p; pre->rtag=1; } pre=p; InThread(p->rchild,pre); } }
对线索二叉树进行中序遍历：
void InOrderTraverse(ThreadTree T){ ThreadTree p=T; while(p){ while(p->ltag==0) p=p->lchild; printf("%c",p->data); while(p->ltag==1&&p->rchild){ p=p->rchild; printf("%c",p->data); } p->rchild; } }
哈夫曼树中相关概念：
权：树中结点相关的数值；
路径长度：从树中某个结点到另一个结点之间的分支数目（经过的边数）；
带权路径长度：从树的根结点到任意结点的路径长度与该结点权值的乘积；
树的带权路径长度：树中所有结点带权路径长度的和。
哈夫曼树的定义：含有n个带权叶子结点的二叉树中，其中带权路径长度最小的二叉树，也称为最优二叉树。
