POJ 1659 Frogs' Neighborhood (havel定理)

Frogs' Neighborhood

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Description

未名湖附近共有N个大小湖泊L₁, L₂, ..., L_n(其中包括未名湖)，每个湖泊L_i里住着一只青蛙F_i(1 ≤ i ≤ N)。如果湖泊L_i和L_j之间有水路相连，则青蛙F_i和F_j互称为邻居。现在已知每只青蛙的邻居数目x₁, x₂, ..., x_n，请你给出每两个湖泊之间的相连关系。

Input

第一行是测试数据的组数T(0 ≤ T ≤ 20)。每组数据包括两行，第一行是整数N(2 < N < 10)，第二行是N个整数，x₁, x₂,..., x_n(0 ≤ x_i ≤ N)。

Output

对输入的每组测试数据，如果不存在可能的相连关系，输出"NO"。否则输出"YES"，并用N×N的矩阵表示湖泊间的相邻关系，即如果湖泊i与湖泊j之间有水路相连，则第i行的第j个数字为1，否则为0。每两个数字之间输出一个空格。如果存在多种可能，只需给出一种符合条件的情形。相邻两组测试数据之间输出一个空行。

Sample Input

3
7
4 3 1 5 4 2 1 
6
4 3 1 4 2 0 
6
2 3 1 1 2 1 

Sample Output

YES
0 1 0 1 1 0 1 
1 0 0 1 1 0 0 
0 0 0 1 0 0 0 
1 1 1 0 1 1 0 
1 1 0 1 0 1 0 
0 0 0 1 1 0 0 
1 0 0 0 0 0 0 

NO

YES
0 1 0 0 1 0 
1 0 0 1 1 0 
0 0 0 0 0 1 
0 1 0 0 0 0 
1 1 0 0 0 0 
0 0 1 0 0 0 

Source

POJ Monthly--2004.05.15 Alcyone@pku

 

 

 

下面是直接转载：

给出一个无向图的顶点度序列{dn}，要求判断能否构造出一个简单无向图。若能构造任意一个输出邻接矩阵。

如果是给定一个图，计算顶点的度非常简单，而这道题恰恰是逆过程，根据顶点的度，构造出一个无向图。

分析：

贪心的方法是每次把顶点按度大小从大到小排序，取出度最大的点Vi，依次和度较大的那些顶点Vj连接，同时减去Vj的度。连接完之后就不再考虑Vi了，剩下的点再次排序然后找度最大的去连接……这样就可以构造出一个可行解。

判断无解有两个地方，若某次选出的Vi的度比剩下的顶点还多，则无解；若某次Vj的度减成了负数，则无解。

至于什么是Havel定理，上面这个构造过程就是了

定理的简单证明如下:

(<=)若d'可简单图化，我们只需把原图中的最大度点和d'中度最大的d1个点连边即可，易得此图必为简单图。

(=>)若d可简单图化，设得到的简单图为G。分两种情况考虑:

(a)若G中存在边，则把这些边除去得简单图G'，于是d'可简单图化为G'

(b)若存在点Vi,Vj使得i=dj，必存在k使得(Vi, Vk)在G中但(Vj,Vk)不在G中。这时我们可以令GG=G-{(Vi,Vk),(V1,Vj)}+{(Vk,Vj),(V1,Vi)}。GG的度序列仍为d，我们又回到了情况(a)。

 

 

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int VM=20;

int n,map[VM][VM];

struct Lake{
    int id,deg;
}lake[VM];

int cmp(Lake a,Lake b){
    return a.deg>b.deg;
}

int main(){

    //freopen("input.txt","r",stdin);

    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--){
        scanf("%d",&n);
        for(int i=0;i<n;i++){
            scanf("%d",&lake[i].deg);
            lake[i].id=i;
        }
        int flag=1;
        memset(map,0,sizeof(map));
        while(flag){
            sort(lake,lake+n,cmp);
            /*
            printf("------------\n");
            for(int i=0;i<n;i++)
                printf("(%d, %d)   ",lake[i].id,lake[i].deg);
            printf("\n");
            printf("------------\n");
            */
            if(lake[0].deg==0)
                break;
            for(int j=1;j<=lake[0].deg;j++){
                lake[j].deg--;
                if(lake[j].deg<0){
                    flag=0;
                    break;
                }
                map[lake[0].id][lake[j].id]=1;
                map[lake[j].id][lake[0].id]=1;
            }
            lake[0].deg=0;
        }
        if(flag){
            printf("YES\n");
            for(int i=0;i<n;i++){
                printf("%d",map[i][0]);
                for(int j=1;j<n;j++)
                    printf(" %d",map[i][j]);
                printf("\n");
            }
        }else
            printf("NO\n");
        if(t!=0)
            printf("\n");
    }
    return 0;
}