甲知道两数之和，⼄知道两数之积，求两数字

题目：

已知两个1~30之间的数字，甲知道两数之和，⼄知道两数之积。
甲问⼄："你知道是哪两个数吗？"⼄说："不知道"；
⼄问甲："你知道是哪两个数吗？"甲说："也不知道"；
于是，⼄说："那我知道了"；
随后甲也说："那我也知道了"；
这两个数是什么？

答案：

允许两数重复的情况下
　　答案为x=1 ，y=4 ；甲知道和A=x+y=5，⼄知道积B=x*y=4
　　不允许两数重复的情况下有两种答案
　　答案1：为x=1 ，y=6 ；甲知道和A=x+y=7，⼄知道积B=x*y=6
　　答案2：为x=1 ，y=8 ；甲知道和A=x+y=9，⼄知道积B=x*y=8
　　解：
　　设这两个数为x，y.
　　甲知道两数之和 A=x+y；
　　⼄知道两数之积 B=x*y；
　　该题分两种情况 ：
　　允许重复， 有(1 <= x <= y <= 30)；
　　不允许重复，有(1 <= x < y <= 30) ；
　　当不允许重复，即(1 <= x < y <= 30) ；
　　1)由题设条件：⼄不知道答案
　　<=> B=x*y 解不唯⼀
　　=> B=x*y 为非质数
　　又∵ x  ≠ y
　　∴ B  ≠ k*k (其中k∈ N)
　　结论(推论1)：
　　B=x*y 非质数且 B  ≠ k*k (其中k∈ N)
　　即：B ∈ (6，8，10，12，14，15，18，20...)
　　证明过程略。
　　2)由题设条件：甲不知道答案
　　<=> A=x+y 解不唯⼀
　　=> A >= 5；
　　分两种情况：
　　A=5 ，A=6 时x，y有双解
　　A>=7 时x，y有三重及三重以上解
　　假设 A=x+y=5
　　则有双解
　　x1=1，y1=4；
　　x2=2，y2=3
　　代入公式B=x*y：
　　B1=x1*y1=1*4=4；(不满足推论1，舍去)
　　B2=x2*y2=2*3=6；
　　得到唯⼀解x=2 ，y=3 即甲知道答案。
　　与题设条件："甲不知道答案"相矛盾，
　　故假设不成立，A=x+y≠5
　　假设 A=x+y=6
　　则有双解。
　　x1=1，y1=5；
　　x2=2，y2=4
　　代入公式B=x*y：
　　B1=x1*y1=1*5=5；(不满足推论1，舍去)
　　B2=x2*y2=2*4=8；
　　得到唯⼀解x=2 ，y=4
　　即甲知道答案
　　与题设条件："甲不知道答案"相矛盾
　　故假设不成立，A=x+y≠6
　　当A>=7时
　　∵ x，y的解至少存在两种满足推论1的解
　　B1=x1*y1=2*(A-2)
　　B2=x2*y2=3*(A-3)
　　∴ 符合条件
　　结论(推论2)：A >= 7
　　3)由题设条件：⼄说"那我知道了"
　　=>⼄通过已知条件B=x*y及推论(1)(2)可以得出唯⼀解
　　即：
　　A=x+y， A >= 7
　　B=x*y， B  ∈ (6，8，10，12，14，15，16，18，20...)
　　1 <= x < y <= 30
　　x，y存在唯⼀解
　　当 B=6 时：有两组解
　　x1=1，y1=6
　　x2=2，y2=3 (∵ x2+y2=2+3=5 < 7∴不合题意，舍去)
　　得到唯⼀解 x=1，y=6
　　当 B=8 时：有两组解
　　x1=1，y1=8
　　x2=2，y2=4 (∵ x2+y2=2+4=6 < 7∴不合题意，舍去)
　　得到唯⼀解 x=1，y=8
　　当 B>8 时：容易证明均为多重解
　　结论：
　　当B=6 时有唯⼀解 x=1，y=6 当B=8 时有唯⼀解 x=1，y=8
　　4)由题设条件：甲说"那我也知道了"
　　=>　甲通过已知条件A=x+y及推论(3) 可以得出唯⼀解
　　综上所述，原题所求有两组解：
　　x1=1，y1=6
　　x2=1，y2=8
　　当x<=y时，有(1 <= x <= y <= 30)；
　　同理可得唯⼀解 x=1，y=4