错排问题解法

背景：同室四人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺卡，四张贺卡的不同分配方式有多少种？

问题：错排问题：有n个正整数1，2，3，……n，将这n个正整数重新排列，使其中的每一个数都不在原来的位置上，这种排列称为正整数1，2，3，……n的错排，问这n个正整数的排列方法有多少种？

 

递推公式 f(n)=(n-1)[f(n-1)+f(n-2)](n>2),f(1)=0,f(2)=1.(欧拉发现)

 

将n个元素的全错位排列分成2步完成：

第一步,对于n中的任意一个元素（如1）有n-1种（其它的2，3，4…n）选择。

第二步，假设元素1选择了位置k，那么接下来排k，又将k的排法分成两类：第一类，k选择位置1，则余下的就是n-2个元素的错位全排列f(n-2). 第二类:若k选择了除1外的其他位置，那么问题实质上转化为n-1个元素（2，3，4…n）的错位全排列f(n-1).由分步和分类计数原理得f(n)=(n-1)[f(n-1)+f(n-2)](n>2)