素数筛学习笔记

素数筛

埃氏筛法

埃氏筛法(埃拉托色尼筛法)是一种用来求所有小于N的素数的方法。把从2(最小的素数)开始的某一范围的正整数从小到大按顺序排列，逐步筛掉非素数留下素数。

例如一组数:

2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16

首先选择最小的一个没有被选择过的数字，表明其为当前最小的素数。

然后从这一列数字中把所有该数字的倍数划掉:

2、3、(4)、5、(6)、7、(8)、9、(10)、11、(12)、13、(14)、15、(16)

然后重新选择数字并重复进行上面的操作。

当选择到5时，因 5 > sqrt(16)，则剩下的未被划掉的全部为素数。

代码实现如下:

bool isNotPrime[MAXN];
void init(int n) {
  for(int i = 2; i * i <= n; ++i) {
    if(!isNotPrime[i]) { //用于选择第一个未被选择过的素数
    	for(int j = i*i; j <= n; j += i) { //从选择素数值的平方开始
        isNotPrime[j] = 1;
      }
  }
}
//至于为什么从i*i开始筛选，是因为从2i到(i-1)i都在之前被更小的素数筛过了

上述代码很简单，但是一个数字可能会被处理多次: 如对于数字12，会被2、3各划掉一次，处理的时间复杂度还可以进一步优化。

欧拉筛(线性筛)

在埃氏筛的基础上，保证每一个和数都只被它的最小的质因数筛选一次。

在这个算法里除了要列出范围外，还需要维护一个质数表。

例如一列数字:

2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16

prime()

依然是从头到尾进行遍历，第一个数字是2，未被划掉，放入质数表中:

(2)、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16

prime(2, )

然后用当前的数字乘指数表中所有的数字并划掉乘积:

(2)、3、(4)、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16

prime(2,)

下一个数字是3，划掉6和9:

2、(3)、(4)、5、(6)、7、8、(9)、10、11、12、13、14、15、16

prime(2, 3, )

下一个数字是4(划掉的数字依然需要进行遍历，只是不加入质数表)

先划掉8，但不划掉12，12应该被其最小的质因数2划去，而不是当前质数表里的3。

2、3、((4))、5、(6)、7、(8)、(9)、10、11、12、13、14、15、16

prime(2, 3, )

然后继续进行上述的过程即可得到素数表。

代码实现如下:

bool isNotPrime[MAXN];
vector<int> primes;
void init(int n) {
  for(int i = 2; i <= n; ++i) {
    if(!isNotPrime[i])
      primes.push_back(i); //更新素数表
    for(int p : primes) {
      if(p * i > n) break; //越界判断
      isNotPrime[p*i] = 1;
      if(i%p == 0) break; //关于这一句的解释在最后
    }
  }
}
//当i是p的倍数时，i=k*p，如果继续使下一个素数参p'与运算，则i*p'=k*p*p'
//这样和当i=k*p'时的情况会重复