HDU-P1999:不可摸数[数论]

题目

不可摸数

Problem Description

s(n)是正整数n的真因子之和，即小于n且整除n的因子和.例如s(12)=1+2+3+4+6=16.如果任何
数m，s(m)都不等于n,则称n为不可摸数.

Input

包含多组数据，首先输入T,表示有T组数据.每组数据1行给出n(2<=n<=1000)是整数。

Output

如果n是不可摸数，输出yes，否则输出no

Sample Input

Sample Output

yes
yes
no

思路

题目第一次读起来还是很拗口的，细细想起来就能发现题目的真正意思: 找出在题目给出范围以内(2~1000)的不能通过题目给出的计算方法算出的数字，按照题目的意思模拟可以很容易的编出以下的程序:

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

int mp[5001];
void init()
{
    memset(mp, 0, sizeof(mp));
    for(int i = 2; i < 5002; ++i) {
        for(int j = 1; j < i; ++j) {
            if(i % j == 0) mp[i-2]+=j;
        }
    }
    sort(mp, mp+5001);
}
int binarySearch(int n)
{
    int L = 0, R = 1000;
    while(L <= R) {
        int mid = (L+R)/2;
        if(mp[mid] == n) return 1;
        else if(mp[mid] > n) R = mid-1;
        else L = mid+1;
    }
    return 0;
}
int main(void)
{
    int T, n;
    init();
    scanf("%d", &T);
    while(T--) {
        scanf("%d", &n);
        if(!binarySearch(n)) printf("yes\n");
        else printf("no\n");
    }
    return 0;
}

但这个代码并不能通过评判系统，实际是因为该程序计算的范围的上限(5000)并不能列举出所有1000以内满足题义的数字。
如果增大计算范围后又会超时，这时我们便需要时间复杂度更优的算法。
借鉴素数筛的思想可以得到以下的AC代码:

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>

using namespace std;

const int MAXN = 1000005;
int s[MAXN]; //s[i]用来储存i的真因子之和
bool ans[1005]; //用于表示数字有没有被算出过

int main(void)
{
    memset(s, 0, sizeof(s));
    memset(ans, 0, sizeof(ans));
    for(int i = 1; i < MAXN; ++i) {
        for(int j = 2*i; j < MAXN; j += i) { //题目要求<n，故从2*i开始处理
            s[j] += i;						 //j每次增加i，使得i始终是j的真因子
        }
    }
    for(int i = 1; i < MAXN; ++i) {
        if(s[i] <= 1000)
            ans[s[i]] = 1;
    }
    int T, n;
    scanf("%d", &T);
    while(T--) {
        scanf("%d", &n);
        if(ans[n]) printf("no\n");
        else printf("yes\n");
    }
    return 0;
}