素数筛法—时间复杂度O(n)

请你想出一个算法求出n以内(含n)的所有素数，要求算法的时间复杂度越小越好。

 

这里介绍一种算法——快速线性素数筛法（欧拉筛法），时间复杂度O(n)。

诀窍在于：筛除合数时，保证每个合数只会被它的最小质因数筛去。因此每个数只会被标记一次，所以算法时间复杂度为O(n)。

具体请看下面的代码，主要函数是Prime(n)。

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

vector<int> Prime(int n) {  // 求解n以内(含n)的素数
    bool flag[n + 1];   // 标记数组,flag[i]==0表示i为素数,flag[i]==1表示i为合数
    memset(flag, 0, sizeof(flag));
    vector<int> prime;
    int cnt = 0;    // 素数个数
    for (int i = 2; i <= n; ++i) {
        if (!flag[i]) {
            prime.push_back(i); // 将i加入素数表
            cnt++;
        }
        for (int j = 0; j < cnt; ++j) { // 保证每个合数只会被它的最小质因数筛去
            if (i * prime[j] > n)  break;
            flag[i * prime[j]] = 1;
            if (i % prime[j] == 0)  break;
        }
    }
    return prime;
}
int main(int argc, char const *argv[])
{
    int n;
    while(1) {
        printf("请输入n,将输出n以内(含n)的素数:");
        scanf("%d", &n);
        if(n < 0) break;
        vector<int> prime = Prime(n);
        int cnt = prime.size();
        printf("一共有%d个素数:\n", cnt);
        for(int i = 0; i < cnt; i++) {
            printf("%3d ", prime[i]);
            if(i % 10 == 9) puts("");
        }
        puts("\n");
    }
    return 0;
}

演示结果为：