计组笔记第二章——数据的表示和运算

本章问题：

• 数据如何在计算机中表示？
• 运算器如何实现数据的算术、逻辑运算？

2.1.1 进位计数制

十进制计数法

• 古印度人发明阿拉伯数字。
• 基于乘法思想。
• 十进制表示方式：
  整数情况下：

\[K_nK_{n-1}...K_2K_1K_0 = K_n \times 10^n + K_{n-1} \times 10^{n-1} + ... + K_2 \times 10^2 + K_1 \times 10^1 + K_0 \times 10^0 \]

带小数的情况：

\[K_nK_{n-1}...K_2K_1K_0K_{-1}K_{-2}...K_{-m} = K_n \times 10^n + K_{n-1} \times 10^{n-1} + ... + K_2 \times 10^2 + K_1 \times 10^1 + K_0 \times 10^0 + K_{-1} \times 10^{-1} K_{-2} \times 10^{-2} + ... + K_{-m} \times 10^{-m} \]

• 上面的公式中\(10^n\)被称为位权。

推广：r进制计数法

• r进制转十进制公式：

\[K_nK_{n-1}...K_2K_1K_0K_{-1}K_{-2}...K_{-m} = K_n \times r^n + K_{n-1} \times r^{n-1} + ... + K_2 \times r^2 + K_1 \times r^1 + K_0 \times r^0 + K_{-1} \times r^{-1} K_{-2} \times r^{-2} + ... + K_{-m} \times r^{-m} \]

• 基数：每个数码位所用到的不同符号的个数，r进制的基数为r。
• 计算机中常用进制：
  • 二进制：0，1
  • 八进制：0，1，2，3，4，5，6，7
  • 十进制：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9
  • 十六进制：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，A, B, C, D, E, F
• 二进制适合计算机的原因：
  • 可使用两个稳定状态的物理器件表示。
  • 0，1正好对应逻辑值假、真。方便实现逻辑运算。
  • 可以很方便的使用逻辑门电路实现算术运算。

各种进制的常见书写方式

• 二进制：
  \((1010000101010)_2 = 010000101010B\)
• 八进制：
  \((1652)_8\)
• 十六进制：
  \((165A)_{16} = 165AH = 0x165A\)
• 十进制：
  \((160)_{10} = 160D\)

十进制转其他进制

例如：十进制75.3转r进制：

• 整数部分（除基取余法）：
  \(\frac {75}{r} = 商(X)…余数(K_0)\)
  \(\frac {X}{r} = 商(X)…余数(K_1)\)
  ……
  \(\frac {X}{r} = 商(0)…余数(K_n)\)
  r进制整数部分为：
  \(K_nK_{n-1}...K_2K_1K_0\)
• 小数部分（乘积取整发）：
  \(0.3 \times r = 整数(K_{-1}) + 小数(X)\)
  \(X \times r = 整数(K_{-2}) + 小数(X)\)
  ……
  r进制小数部分为：
  \(K_{-1}K_{-2}...\)
• 注：十进制的小数部分可能无法用其他进制的有限小数精确表示，可能出现循环。
• 如果熟悉二进制的每位对应的十进制数，在求十进制转八、十六进制时可以先十进制转二进制，然后二进制转八、十六进制。

真值和机器数

• 如果数字带符号，存储时需要一位符号位。
• 真值：符合人类习惯的数字。
• 机器数：数字实际存到机器里的形式，它的正负号需要被“数字化”。

2.1.2 BCD码

• BCD（Binary-Coded Decimal）: 使用二进制编码的十进制。
• 二进制方便机器处理，十进制符合人类习惯，但是用二进制转十进制的公式转换的过程较为复杂，所以引出BCD编码。BCD码的思路是用4b二进制表示1为十进制。4b二进制可以表示16个数，对应十进制有6个数的冗余，但是转换起来比较方便。

8421码（重点）

• 8421码的4位二进制对应十进制分别位8421，也就是一般状况下二进制和十进制的对应关系。
• 下表给出8421码和十进制的映射关系：

十进制数	8421码
0	0000
1	0001
2	0010
3	0011
4	0100
5	0101
6	0110
7	0111
8	1000
9	1001

• 例：985用9421码表示为：1001 1000 0101
• 8421码如何进行加法运算？
  • 投机取巧法: 先用十进制加出结果，然后把结果用8421码表示。
  • 计算机方法：
    例如十进制5 + 8，对应二进制8421码为0101 + 1000 = 1101. 但是1101不在8421码的映射表里。计算机的处理方式为当计算结果出现超出映射表的数，就给这些数加六（0110）（因为8421码有6位冗余），这样这个数就会向高位进一，剩下的部分就是低位的结果。例如1101 + 0110 = 1 0011，对应8421码的13.
  • 例: 9 + 9的9421码运算过程：
    解:1001 + 1001 = 10010
    10010超出映射表，修正为10010 + 0110 = 11000 = 18

余3码

• 映射规则: \(8421码 + (0011)_2\)
• 十进制映射表如下：

十进制数	余3码
0	0011
1	0100
2	0101
3	0110
4	0111
5	1000
6	1001
7	1010
8	1011
9	1100

• 8421码每位的权值是固定的，称为有权码，而余3码每位权值不固定，称为无权码。

2421码

• 每位权值分别为2421.
• 十进制映射表如下：

十进制数	2421码
0	0000
1	0001
2	0010
3	0011
4	0100
5	1011
6	1100
7	1101
8	1110
9	1111

• 2421码的0_{4首位都是0，5}9首位都是1，这样可以使2421码编码策略唯一。

2.1.3 无符号整数的表示和运算

• 无符号整数，即自然数：0，1，2，3，4……
• C语言中的无符号整数：

unsigned short a = 1; //无符号整数（短整型，2B）
unsigned int b = 2; //无符号整数（整型，4B） 

无符号整数在计算机硬件内如何表示？

• 计算机硬件能支持的无符号整数位数有上限，现在个人计算机机器字长通常是64位，或至少为32位。
  本节以8位机器字长为例：
• 下图为计算机存储无符号数的示意图：
  
  由图可知，如果要把一个超出机器字长表示范围的数强行塞进一个机器字长内，计算机只保留低8位，其余高位部分溢出。
• 全部二进制都是数值为，没有符号位。
• n bit无符号整数的表示范围位\(0\)~\(2^{n-1}\)，超出范围就会溢出。
• 可以表示的最小的数全是0，最大的数全是1.

无符号整数的加减法运算如何用硬件实现？

• 无符号整数加法：从最低位开始，按位相加，并往最高位进位。
  例：99 + 9
  解：01100011 + 00001001 = 01101100

• 无符号整数减法：
  人类方法：从最低位开始，按位相减，不够减的话从高位借位。
  计算机方法：

  • “被减数”不变，减数全部按位取反，末位+1，减法变加法。
  • 从最低位开始，按位相加，并往最高位进位。
  • 原因是加法电路造假便宜，减法电路更贵。
    例：99 - 9
    解：01100011 - 00001001
    = 01100011 + (11110110 + 1)
    = 01100011 + 11110111
    = 1 01011010
    最高位的1溢出，最终结果为01011010

2.1.4 带符号整数的表示和运算

原码

• 最高位表示正负号，其余位表示数值位。
• 原码表示图如下：
  
  符号位0/1对应正/负，剩余数值位表示真值的绝对值。
• 若机器字长为n-1位，带符号整数的原码表示范围：\(-(2^n - 1) \leq x \leq 2^n-1\)
• 真值0的原码表示方式有两种，一种是+0，一种是-0.
• 常见书写方法：\([-19]_原 = 1,0010011\)，符号位和数值位中间可以用逗号隔开。如果题目没说机器字长，可以省略数值位开头的0.
• 原码缺点：符号位不能参与运算。

补码、反码

• 原码到反码补码的转换：
  
• 正数原、反、补码相同。
• 负数原码到反码符号位不变，数值位按位取反，反码到补码末位加一。
• 原、反、补的最高位都反应正负。
• 原->反和反->原都是符号位不变，数值位按位取反。反码到补码末位加一，补->反末位减一。
• 原<->补的快速转换：
  正数不变，负数从右往左找到第一个1，这个1左边的所有数值位按位取反，原->补和补->原都一样。
• 补码的加减运算：
  • 补码的加法运算：
    +19 + (-19) = 00010011 + 11101101 = 1,00000000
    最前面的1溢出不考虑，最终结果为0.
  • 补码的减法运算：
    因为加法电路比减法电路便宜，所以尽量把减法运算变成等价的加法运算。
    \([A]_补 - [B]_补 = [A]_补 + [-B]_补\)
    \([B]_补\)<->\([-B]_补\)全部位按位取反、末位+1. 也可以从右往左找到第一个1，这个1左边所有位（包括符号位）都取反。
    无符号整数的减法也是被减数不变，减数全部位按位取反，末位+1，减法变加法。
    也就是同一套电路可以实现无符号和有符号整数的减法。

各种码的基本特性总结：

• 注：是否溢出的计算可以手算带十进制验证。

移码

• 原、反、补、移码的转换：
  
• 补码的基础上符号位取反可得移码。
• 移码的正数表示和其他三个码不同。
• 移码只用于表示整数。原、反、补码也可以表示小数。
• 移码整数的表示范围和补码相同，机器字长为n+1位时，表示范围都是:
  \(-2^n \leq x \leq 2^n-1\)
• 移码补码对应图：
  
  在-128~127之内，移码的真值从小到大增加。

2.1.5 定点小数

• 定点含义：小数点的位置固定。带符号整数也可以叫定点整数，默认小数点固定在最后一位之后。
• 定点小数的小数点位置默认在符号位之后。

原码

• 定点整数的符号位与数值位通常用逗号隔开，定点小数的符号位和数值位通常用“.”隔开。

反码、补码

• 和定点整数的转换方式相同：
  正数不变。
  负数：
  原<->反：符号位不变，数值位按位取反；
  原<->补：从右往左找第一个1，这个1左边的所有数值位按位取反。
  反->补：负数末位+1.

定点小数的加减运算

运算规则：

和定点整数的加减运算规则相同。

定点小数和定点整数的总结：

• 定点小数的默认小数点在符号位之后，定点整数默认小数点在数值位之后。
• 定点小数和定点整数对照表如下：
  
• 定点小数和定点整数在位数扩展时，拓展位置不一样。
  定点小数位数扩展是在数值位末位加0.
  定点整数位数扩展是在符号位后面加0.

2.2.0 奇偶校验码（大纲已删）

校验原理

如果PCA和PCB要传输4钟信号ABCD，那么理论上只需要2b的数据来表示这4个合法状态。如下表所示

信息	A	B	C	D
编码	00	01	10	11

但是在数据传输过程中，可能会出现位错误，所以可以采用校验的方式，用3b来编码这4个合法状态（会有4中冗余的非法状态），编码方式如下表：

信息	A	B	C	D
编码	100	001	010	111
表中的4中编码为合法状态，另外4中为冗余非法状态。

奇偶校验

• 奇偶校验码：
  
• 检验错误的方式：
  一串带着校验码的数据传输过去，约定好是奇校验或者偶校验，接收方先检查1的奇偶性，如果传输过程中发生奇数bit的数据错误，则接收方可以测出来，但是发生偶数bit的数据错误，接收方就检查不出来了。
• 偶校验的硬件实现：各信息进行异或（模2加）运算，得到的结果极为偶校验位。

2.2.1 算术逻辑单元

作用、大致原理

• ALU（Arithmetic and Logic Unit）:用于实现算术运算、逻辑运算和一些辅助功能（移位、求补）等。
• ALU有A、B两个输入信号，一个F输出信号，一些控制输入信号。
• 具体实例：
  
  74181芯片是一个4位ALU，右侧的输入就是控制信号，用来控制当前的运算。

电路基础知识

• 基本逻辑运算：
  当一个逻辑运算中同时出现&和|，先算与，再算或。
• 复合逻辑：
  与非：A和B先与再非
  或非：A和B先或再非
  异或：可以用与、或符合而来，A、B只有一个为1是结果为1
  同或：异或取反

加法器的实现

一位全加器

• 本位有两个参与运算的数\(A_i\)和\(B_i\)，还有低位进位\(C_{i-1}\), 本位的和记为\(S_i\)
• 加法是一位一位的加，本位的输出结果\(S_i\)：输入中有奇数个1.

\[S_i = A_i \oplus B_i \oplus C_{i-1} \]

向高位的进位\(C_i\)是输入中至少有2个1.

\[C_i = A_iB_i + (A_i \oplus B_i)C_{i-1} \]

其中\(A_iB_i\)表示两个本位都是1， +表示或， \((A_i \oplus B_i)C_{i-1}\)表示两个本位中有一个1，低位进位为1.

• 一位全加器英文缩写为FA(Full Adder)，图示如下：
  
• 如果利用一位全加器实现多位加法？
  • 串行全加器：
    在一位全加器的基础上增加一个进位触发器，用来保存进位位。
    整个运算过程只有一个一位全加器，数据逐位串行送人加法器中进行运算。进位触发器用来寄存进位信号，以便参与下一次运算。
    串行加法器的图示如下：
    
    缺点：效率较低。
  • 串行进位的并行加法器：
    
    把n个全加器串接起来，即可进行n位相加。
    进位信息是串行的一位一位往前进的。
    串行进位也叫行波进位。
  • 并行进位的并行加法器：
    串行进位的加法器计算速度受进位信号产生速度的影响。并行进位的并行加法器解决的问题是如何让进位计算的更快。
    进位信号的计算可以有如下递推公式：
    
    一直向下递推最终可以推到\(C_0\)
    通过对逻辑表达式的化简，最终可以用\(C_0\)和\(A_iA_{i-1}...A_1\)， \(B_iB_{i-1}...B_1\)来表达\(C_i\)
    由此设计出的电路每一位的进位几乎是同时产生的，提高了效率。但是每递推一次，表达式越复杂所以一般推到\(C_4\)，每4位之间串行，4位之内并行。

2.2.2 补码加减运算器

• n bit补码X + Y，直接相加即可。
• n bit补码X - Y，将补码Y全部按位取反，末位+1，得到\([-Y]_补\)，减法变加法。
• 补码的加减运算器：
  Y是通过一个多路选择器连接的ALU，在控制信号为0（加法）时，Y直接输入到ALU中，低位进位与多路选择器的控制信号相连，数值为0。当多路选择器的控制信号为1（减法）时，Y取反输入ALU，\(C_{in}\)值为1，相当于X + (-Y)（Y按位取反） + 1。
  无符号数的加减运算也可以用同样的电路。

加减运算和溢出判断

原码的加法运算

• 正 + 正：绝对值做加法，结果为正。
• 负 + 负：绝对值做加法，结果为负。
• 正 + 负：绝对值大的数减绝对值小的数，结果符合与绝对值大的保持一致。
• 注：加数和被加数的符号相同时，结果可能出现溢出。

原码的减法运算

核心思路是转变为加法运算。

• 正 - 正 = 正 + 负
• 正 - 负 = 正 + 正
• 负 - 正 = 负 + 负
• 负 - 负 = 负 + 正

溢出判断

• 溢出分为上溢和下溢，如下图所示：
  
  当“正 + 正”超出正数区表示的上限时，发生上溢，上溢的结果是“正 + 正 = 负”
  当“负 + 负”小于负数区表示的下限时，发生下溢，下溢的结果是“负 + 负 = 正”

• 下图所示为补码加法的另一种理解：
  
  上图所示位3位补码所能表示的8个数，一个数加另一个正数X，可以理解为向右移动X个数。例如2 + 2，即从2向右移两位，超出部分绕到最左边。2向右移一位是3，再移是-4，所以3位补码2 + 2计算结果的真值为-4，发生溢出。

• 溢出判断方法一：
  \( V = A_sB_s \overline{S_s} + \overline{A_s} \overline{B_s}S_s \)
  解释：\(A_s\)、\(B_s\)表示两个参与运算数字的符号位。\(S_s\)表示结果的符号位。该逻辑表达式的含义为A、B为正结果为负，或A、B为负，结果为正。
  V = 0表示无溢出；
  V = 1表示有溢出。
  写逻辑表达式的作用是未来便于硬件电路的实现。

• 溢出判断方法二
  根据数据位进位情况判断溢出。设符号位的进位为\(C_s\)，最高数值位的进位为\(C_1\).
  最高数值位的进位指数值为计算时算到最高位有没有向前进位。
  符号位的进位即两个符号位同时为1时，相加会出现进位1，否则没有进位。
  溢出情况如下表：

	\(C_s\)	\(C_1\)
上溢	0	1
下溢	1	0

即\(C_s\)和\(C_1\)不同时发生溢出。
解释一下上面表格：当符号位进位为零可能有3种情况：正 + 正、正 + 负、负 + 正。其中只有正 + 正可能出现溢出，当正 + 正的数值位有进位时，整体发生溢出（上溢）；当符号位的进位为1时，说明是负 + 负，负 + 负的情况下符号位相加结果为0，向高位进1，若数值位有进位，则进的这一位将写在符号位上，符号位为1，得到“负 + 负 = 负”的合法结果。但是如果数值位没有进位，则符号位为0，出现“负 + 负 = 正”的下溢情况。
逻辑表达式如下：
\(V = C_s \oplus C_1\)
V = 0, 无溢出
V = 1，溢出

• 溢出判断方法三
  采用双符号位，正数符号00，负数符号11，计算结果符号位为01时上溢，计算结果符号位为10时下溢。
  这个方法的原理和方法二是一样的。
  另一种解释：双符号为的第一位表示本应得到的正负情况，第二位表示实际得到的正负情况，01是结果本应是正的，实际是负的，判断为上溢。10反之。
  双符号位的补码又称：模4补码
  单符号位的补码又称：模2补码
  双符号位在计算机中的实际存储时也只存一个符号位，在运算时会复制一个符号位。

符号扩展

• 正整数的扩展原、反、补都是一样的，直接在前面加0.
• 负整数的扩展如下表：

	扩展方式	负整数	扩展结果
原码	符号位后加0	1,1011010	1,00000000 1011010
反码	符号位后加1	1,0100101	1,11111111 0100101
补码	符号位后加1	1,0100110	1,11111111 0100110

• 正小数的符号扩展原、反、补都是一样，在小数末尾加0.
• 负小数的符号扩展如下表：

	扩展方式	负小数	扩展结果
原码	末尾填0	1.1011010	1.1011010 00000000
反码	末尾填1	1.0100101	1.0100101 11111111
补码	末尾填0	1.0100110	1.0100110 00000000

标志位的生成

加法器除了计算相加结果之外，还可以生成4个标志位。

OF(Overflow Flag)

• 溢出标志。溢出时为1，否则为0.
• 仅在有符号数的加减运算中有意义。对无符号数无意义。
• 硬件计算方法：\(OF = 最高位产生的进位 \oplus 次高位产生的进位\)

SF(Sign Flag)

• 符号标志。结果为负时为1，否则为0.
• 硬件计算方法：\(SF = 最高位的本位和\)
• SF对无符号加减计算无意义。

ZF(Zero Flag)

• 零标志。运算结果为0时为1，否则为0.
• 硬件计算方法：两个数的运算结果有n位，只有n位全为0，ZF = 1.

CF(Carry Flag)

• 进位/借位标志。进位/借位时置1，否则为0.
• 仅对无符号数加减法有意义。
• 硬件计算方法：
  \(CF = 最高位产生的进位 \oplus sub, sub = \begin{cases} 0，表示加法\\ 1，表示减法 \end{cases}\)
• 无符号数借位的含义是两个数计算结果用补码来读真值是负的，但是无符号数不会有负的，所以解释为借位。

2.2.3 定点数的移位运算

移位：通过改变各个数码位和小数点的相对位置，从而改变各数码位的位权。可以用移位运算实现乘法、除法。

算术移位（常考）

原码的算术移位

符号位保持不变，仅对数值位进行移位。
相当于乘或除\(2^n\)

• 右移：符号位不动，高位补0，低位舍弃。若舍弃的位是0则相当于除2；若舍弃的不是0，则会丢失精度。
• 左移：符号位不动，最高位舍弃，低位补0。若舍弃的位 = 0，则相当于乘2；若舍弃的位不等于0，则会出现严重误差。

反码的算术移位

• 正数和原码一样。
• 负数的反码算术移位：
  右移：符号位不动，高位补1，低位舍弃。
  左移：符号位不动，低位补1，高位舍弃。

补码的算术移位

• 正数跟原码一样。
• 负数的补码算术移位：
  右移：符号位不动，高位补1，低位舍弃。
  左移：符号位不动，低位补0，高位舍弃。

算术移位的应用

例：求-20 * 7
解：
\((-20) \times 7 = (-20) \times (2^2 + 2^1 + 2^0)\)
也就是（-20） + （-20）算术左移1位 + （-20）算术左移2位。

逻辑移位

• 逻辑右移：高位补0，低位舍弃。
• 逻辑左移：低位补0，高位舍弃。
• 可以看作是对无符号数的算术移位。

循环移位

把移出去的为补到另一头。

• 带进位位的循环移位：
  
  进位位也参与移动，用来记录数据进位。相当于给原本的数据多添了一位。
• 适用于把数据的高位和低位进行高低字节的调换。

2.2.4 乘法运算

乘法运算的实现思想

手算二进制的乘法和手算十进制的乘法过程相同。
考虑用机器实现，会有一些问题：

• 实际数字有正有负，符号如何处理？
• 乘积的位数要扩大一倍，如果处理？
• 每位的位积都要保存下来最后统一相加吗？

原码的一位乘法

• 符号位单独处理：\(符号位 = X_s \oplus Y_s\)
• 数值位取绝对值进行乘法计算。
• 乘法运算实现方法：先加法再移位，重复n次。
  在正式进行乘法之前，ACC置0，乘数存在MQ内，被乘数存在X中，当乘数最低为位1时，(ACC + X) -> ACC；当乘数最低位为0，ACC不加X。之后ACC和MQ整体逻辑右移一位，重复之前的过程。
  
  上图中红色的部分可以称为部分积。
  定点小数的小数点隐藏在符号位后面，计算的时候可以不用考虑。
  最终计算结果ACC中保留的是乘积高位，MQ中保留乘积低位。
• 原码一位乘法（手算模拟）：
  
  上述过程中，被乘数和乘数采用双符号位，但是实际做题的时候采用单符号位也可以。
• 本节中采用小数作为例子，整数的原理相同。

补码的一位乘法

• 补码一位乘法和原码一位乘法的过程相似，区别是：
  • 补码需要进行n轮加法、位移，最后比原码再多一次加法。
  • 原码每次加法可能加0或\(+[|X|]_原\)，补码依据MQ中的最低位和一个辅助位判断，每次可能加0、\(+[X]_补\)或\(+[-X]_补\)。
    • 辅助位 - MQ中的最低位 = 1时，\([ACC] + [X]_补\)
    • 辅助位 - MQ中的最低位 = 0时，\([ACC] + 0\)
    • 辅助位 - MQ中的最低位 = -1时，\([ACC] + [-X]_补\)
  • 原码每次逻辑右移，补码每次算术右移。
  • 原码的乘数符号位不参与运算，补码乘数符号位参与运算。
• 硬件构成：
  
  MQ中的实际最低位为新增的辅助位，由于MQ增加了一位，其余寄存器（ACC, X）也要随之增加一位（被乘数采用双符号位的补码，乘数采用单符号位的补码）。
  可能会有一个辅助电路实现\([X]_补\)到\([-X]_补\)的转换。
• 采用Booth算法求\(X \times Y\)：
  

2.2.5 除法运算

除法运算的思想

手算二进制除法：
例：设机器字长为5为（含一位符号位，n = 4），x = 0.1011, y = 0.1101, 求x/y:
解：可以先把除数和被除数都乘\(2^4\)，变成正数。

原码除法：恢复余数法

• 运算器的结构：
  
• 实现方法：上商0/1，得到余数，余数末尾补0.
• 符号位单独处理：\(符号位 = X_s \oplus Y_s\)
  数值位取绝对值进行除法运算。
• ACC中存被除数，通用寄存器（X）中存除数的值。MQ中存最后的商，一开始全部取0. MQ的最后一位是当前要确定的商的位置。
• 每位的商计算机都会先默认为1，ACC里的被除数加除数的相反数的结果存到ACC中去。ACC的结果如果是正的，则这一位就是商1。ACC的结果如果是负的（符号位为1），说明这一位商不该是1，就把MQ末位的值改为0，ACC里的数再加除数。之后再把ACC和MQ里的所有值统一逻辑左移一位。
• 如果最后一位商1后发现需要恢复余数，则还需把最后一位商改成1，再把ACC里的值加上除数。
• 得到的余数还要再乘\(2^{-n}\)，才是最终余数的值。
• 注：计算过程中如果出现要加（-Y），加的都是补码。

原码除法：加减交替法（不恢复余数法）

• 由于恢复余数发的过程较为麻烦，所以可以做一些优化，改为不恢复余数的除法。原理就是恢复余数法恢复余数后，商0，还要逻辑左移1位，再减去除数。这个过程简化就可以直接变成商0，不恢复余数，左移后加上被除数的补码。
• 符号位的确定也需要单独解决：\(Q_s = X_s \oplus Y_s\)
• 最终余数的正负性和商相同。
• 加、减执行n + 1次，每加一次确定一位商；左移n次（最后一次加减完不移位），最终可能还要多加一次。
• 最后说明：这里讨论的是定点小数的除法，最终结果也是定点小数。所以被除数应该要小于除数，否则结果会大于1，而定点小数无法表示大于1的范围。原码除法通过第一位的商来判断被除和除数的大小。

补码除法：加减交替法

• 补码除法：符号位参与运算，被除数/余数、除数采用双符号位。
• 在写补码的时候，写的是除数的补码，而不是除数绝对值的补码。因为除数的符号位直接参与运算。
• 第一步：判断被除数和除数是否同号，同好则被除数减去除数，异号则被除数加除数，得到一个新的余数。
• 如果除数和余数同号，商1，余数左移一位减去除数。
  如果余数和除数异号，商0，余数左移一位加除数。
  如此重复n次。
  最后一位的商恒为1，不管同号异号（主要是为了省事）。

除法运算的总结：

除法类型	符号位是否参与运算	加减次数	移位方向	移位次数	上商、加数原则	说明
原码加减交替法	否	N+1或N+2	左	N	余数的正负	若最终余数为负，需要恢复余数
补码加减交替法	是	N+1	左	N	余数和除数是否同号	商末位恒置1

2.2.6 C语言类型转换

C语言中的定点整数都是用补码的形式存储的

void main(){
    short x = -4321;
    unsigned short y = (unsigned short)x;

    int a = 165537, b = -34991;
    short c = (short)a, d = (short)b;

    // short x = -4321;
    int m = x;
    unsigned short n = (unsigned short)x;
    unsigned int p = n;
}

• 在上述代码中无符号数与有符号数的转变不改变数据内容，只改变解释方式。
  x = -4321 = \((1,110\space 1111\space 0001\space 1111)_2\).
  y = \((1110\space 1111\space 0001\space 1111)_2\). = 61215.
• 长整数转短整数：高位截断，保留低位。
  a = 0x0002 86a1
  c = 0x86a1 真值-31071
  b = 0xffff 7751
  d = 0x7751 真值30545
• 更短的数据转为更长的数据：符号扩展。
  x = 0xef1f
  m = 0xffff ef1f 真值-4321.
  n = 0xef1f 真值61215
  p = 0x0000 ef1f 真值61215

2.2.7 数据的存储和排列

大小端模式

对于一个4字节的int:
19088743D
01 23 45 67H
0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111B

• 其中，十六进制的01为这个数的最高有效字节（MSB）。67为最低有效字节(LSB)。
• 多字节的数据在内存中一定是占连续的几个字节的。
  一般有大端、小端两种存储方式。
  其中大端方式便于人类阅读，每个字节按照地址从低到高存储。低地址存储最低有效字节，高地址存最高有效字节。
  小端方式逆过来，最高有效字节在低地址，最低有效字节在高地址。

边界对齐

现代计算机通常是按字节编址，即每个字节对应1个地址
通常也支持按字、按半字、按字节寻址。
假设存储字长为32位，则1个字 = 32bit，半字 = 16bit。每次访存只能读/写1个字。
边界对齐的存储方式和边界不对齐的存储方式如下图：

边界对齐读取方便但是有点浪费空间，边界不对齐方式节约空间，但是读取过程比较浪费时间。

2.3.1 浮点数的表示

• 科学计数法的表示方式：
  
  阶符负责标记小数点移动端方向，阶符为正，小数点后移，阶符为负，小数点前移。
  阶符的数值部分表明小数点要移动多少位。
  尾数数符表示整个数值的正负。
  尾数的数值部分位数越小精度越小。

浮点数的表示

• 阶码(E)：常用补码或移码表示定点整数。反应浮点数的表示范围及小数点的实际位置。
• 尾数(M)：常用原码或补码表示的定点小数。数值部分的位数N反应浮点数的精度。
• 二进制浮点数的真值：\(N = r^E \times M\)，其中r为阶码的底，通常是2，也可以取\(2^i\).
  例：阶码、尾数都用补码表示，求a, b的真值。
  a = 0,01;1.1001
  b = 0,10;0.1001
  解：a的尾数的原码表示对应的二进制真值为：-0.0111，a的真值 = \(2^1 \times (-0.0111) = -0.111\)
  b的阶码010对应真值为+2.尾数0.01001对应真值+0.01001，b的真值 = \(2^2 \times (+0.01001) = +1.001\)
  注：a有3位阶码和5位尾数，在1B的存储空间里可以刚好存下；但是b有3位阶码和6位尾数，在1B空间内存不下，会使精度降低。如何能在有限的空间内尽可能高的提高浮点数的精度呢？这需要进行浮点数的规格化。

浮点数尾数的规格化

在上面例子中，b = \(2^2 \times (+0.01001) = 2^1 \times (+0.1001)\)
即将尾数算术左移一位，阶码-1，这个过程称为左归。
同理，右归是当浮点数运算结果尾数出现溢出（双符号位为01或10）时，将尾数算术右移1位同时阶码+1.

• 注：采用双符号位的好处是出现溢出还可以挽救。
• 规格化浮点数的特点：

1. 用原码表示的尾数进行规格化：
   正数为0.1....的形式，其最大值表示为0.11...1; 最小值表示为0.10...0；所以尾数的表示范围为\(1/2 \leq M \leq (1-2^{-n})\)
   负数为1.1....的形式，其最大值表示为1.10...0; 最小值表示为1.11...1；所以尾数的表示范围为\(-(1-2^{-n} \leq M \leq -1/2)\)
2. 用补码表示的尾数进行规格化：
   正数和原码相同。
   负数：计算机规定，补码表示的负数尾数数值位的第一位必须是0，才算合法的规格化，其最大值表示为1.01...1; 最小值表示为1.00...0.

例：
解：将尾数算术左移3位，低位补0.
尾数变为1.0100000，左归了3次，阶码-3，变为0011.

3. 浮点数的溢出：
   
   如果出现正下溢或负下溢的情况通常当作机器数的0处理。
   出现正上溢或负上溢，则抛出异常。

2.3.2 IEEE 754

IEEE 754是浮点数的一个标准

移码

• 在IEEE 754标准中，阶码用移码表示。
• 移码是在补码的基础上将符号位取反，只能用于表示整数。
• 移码的定义：移码 = 真值 + 偏置值
  n位移码的偏置值一般为为\(2^{n-1}\)，也可以取其他值。在IEEE 754标准中，规定阶码用移码表示，偏置值设为\(2^{n-1} - 1\)

IEEE 754标准

• IEEE 754标准的浮点数格式如下图所示：
  
• IEEE 754的浮点数格式规定如下表：

类型	数符	阶码	尾数数值	总位数	偏置值
float	1	8	23	32	7FH/127
double	1	11	52	64	3FFH/1023
long double	1	15	64	80	3FFFH/16383

• 尾数部分用原码表示，规格化希望原码最高数值位为1，所以在IEEE 754标准中，默认原码的最高数值位为1，这样float的尾数数值位虽然有23位，但是实际可以表示24位数。
  表中每个数据类型的阶码、尾数、总位数需要记住，考试不会给。
• 例：float：1000 0001 1000 1010 0101 0000 1000 0000
  解：最前面的1表示整个数的正负
  阶码真值 = 移码 - 偏移量
  最终，这个浮点数的真值为：

\[(-1)^s \times 1.M \times 2^{E - 127} \]

• 例：将十进制数-0.75转换为IEEE 754标准的单精度浮点数格式表示：
  解：\((-0.75)_{10} = (-0.11)_2 = (-1.1)_2 \times 2^{-1}\)
  移码 = 阶码真值（补码表示） + 偏移量（补码表示）
  -1的解码表示为1111 1111（-1） + 0111 1111（127） = 0111 1110（留足8位）
  -0.75 = float：10111 1110100 0000 0000 0000 0000 0000

• 例：IEEE 754标准的float = C0 A0 00 00 H的十进制是多少？
  解：C0 A0 00 00 H对应二进制：1100 0000 1010 0000 0000 0000 0000 0000
  数符 = 1
  移码 = 100 0000 1
  尾数 = 1.010 0000 0000 0000 0000
  解码真值 = 移码 - 偏移量
  = 1000 0001 + 1000 0001
  = 0000 0010
  = 2
  对应十进制 = \(N = (-1) \times 2^2 \times 1.01 = -4 \times 1.25 = -5\)

• IEEE 754 float能表示的最小绝对值和最大绝对值分别是多少？

  • 最小绝对值：尾数全0，阶码真值最小-126，对应移码机器数0000 0001，此时整体的真值为\((1.0)_2 \times 2^{-126}\)
  • 最大绝对值：尾数全1，阶码真值最大127，对应移码机器数1111 1110，此时整体的真值为\((1.111...11)_2 \times 2^{127}\)
  • 注：IEEE 754的移码全零和全一是特殊值，所以这里阶码真值最小到-126，最大到127.
  • 如果阶码全为0，默认尾数乘2的-126次方，但是尾数默认省略的首位1变成0，也就是阶码全为0时，可以表示绝对值更小的数。
  • 如果阶码全为0，尾数也全为0，表示真值\(\pm 0\)
  • 当阶码全为1，尾数全为0，表示无穷大\(\pm \infty\)。当计算过程中出现正上溢或负上溢时，结果会被记为\(+\infty\)或\(-\infty\)。
  • 当阶码全1，尾数不全为0时，表示非数值“NaN”(Not A Number)。

2.3.3 浮点数的运算

浮点数的加减运算

浮点数加减运算的步骤：

1. 对阶：阶数小的向阶数大的转换（因为计算机内部，尾数是定点小数，如果阶大的转阶小的，尾数可能表示不下。）
2. 尾数加减：将尾数进行相加
3. 规格化：保证尾数是规格化的
4. 舍入：由于浮点数的位数是有限的，超出有效部分的需要被舍弃。
5. 判溢出：如果阶码的值超出规定范围，则判断溢出。

• 例：已知十进制数X = -5/256、Y = +59/1024，按机器补码浮点运算规则计算X-Y，结果用二进制表示。浮点数格式如下：阶符取2位，阶码取3位，数符取2位，尾数取9位。（这个不是IEEE 754标准）

• 解：
  转换格式：
  5D = 101B
  1/265 = \(2^{-8}\)
  \(X = -101 \times 2^{-8} = -0.0101 \times 2^{-5} = -0.101 \times 2^{-101}\)
  59D = 11 1011B
  1/1024 = \(2^{-10}\)
  \(Y = +111011 \times 2^{-10} = +0.111011 \times 2^{-4} = +0.111011 \times 2^{-100}\)
  X阶码-101转为补码：11 011（双符号位）
  X尾数-0.101原码是1.101，补码为11.0110 0000 0
  综上：X = 11011,11.011000000;
  同理，Y = 11100,00.111011000。
  对阶
  使两个数的阶码相等，小阶向大阶看齐、尾数右移1为，阶码+1.
  求阶差：\(\Delta E_补 = 11011+00100 = 11111 = -1\)
  对阶：X:11011,11.011000000 -> 11000,11.101100000.(算术右移)
  尾数加减：最终结果10.110001000（发生溢出，但是还可以挽救）
  规格化：
  尾数算术右移，阶码加一。得到结果：
  X-Y:11101,11.011000100
  舍入：无舍入
  判溢出：阶码没有溢出，结果真值为\(2^{-3} \times (-0.1001111)_2\)

• 浮点数加减运算——舍入：

  • 0舍1入法：类似四舍五入，尾数是0直接舍弃，尾数是1末尾+1.
  • 恒置1法，尾数右移时，不论丢掉的最高数值位是0还是1，都使右移后的尾数末位恒置1. 这种做法可能使尾数变大或变小。

浮点数到定点数的强制类型转换

不同字长的机器各类型数据位数如下表：

类型	16位机器	32位机器	64位机器
char	8	8	8
short	16	16	16
int	16	32	32
long	32	32	64
long long	64	64	64
float	16	32	32
double	64	64	64

• 无损类型转换（32位机）：char -> int -> long -> double(64位的long转double会有精度的丢失)
  float -> double
• 32位机器，int转float:
  int表示整数，1位符号位，31位数值位。
  float表示整数及小数，1位符号位，8位阶码位，23+1（隐藏的首位1） = 24位数值位。
  所以int -> float可能损失精度。
  float -> int可能溢出及损失精度。