Luogu P1249 最大乘积

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最大乘积

题目描述

一个正整数一般可以分为几个互不相同的自然数的和，如 $3=1+2$，$4=1+3$，$5＝1+4=2+3$，$6=1+5＝2+4$。

现在你的任务是将指定的正整数 $n$ 分解成若干个互不相同的自然数的和，且使这些自然数的乘积最大。

输入格式

只一个正整数 $n$，（$3\le n\le 10000$）。

输出格式

第一行是分解方案，相邻的数之间用一个空格分开，并且按由小到大的顺序。

第二行是最大的乘积。

样例 #1

样例输入 #1

10

样例输出 #1

2 3 5
30

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思路

本题要先用数论和贪心找到最优解的组成方法，再用高精度乘法求积。

先来列举观察：
$3=3$
$4=4$
$5=2+3$
$6=3+3$
$8=3+5$
$9=2+3+4$
$10=2+3+5$

观察发现，几乎每个正整数都可以使用近乎相邻的数字之和表示，而这恰好是最大乘积的方案。于是就顺着发现大胆猜测：自然数的分解乘积最大方案是一组相邻的数字序列。

接着便萌生了贪心的猜想：循环列举数字2,3,4,…,n${}^1$，同时求总和sum，当sum大于n时停止循环，将序列中sum-n的元素删去，使得sum=n，这正好是最终方案。

最后，再套用高精度乘法模版即可。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[10001];
int b[10001],len=1;
void sv(int x)
{
	for(int i=1;i<=len;i++)
	{
		b[i]*=x;
	}
	for(int i=1;i<=len;i++)
	{
		b[i+1]+=b[i]/10;
		b[i]%=10;
	}
	while(b[len+1]!=0)
	{
		len++;
		b[len+1]+=b[len]/10;
		b[len]%=10;
	}
}
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	int n;
	cin>>n;
	if(n<=4)
	{
		cout<<n<<endl<<n<<endl;
		return 0;
	}
	int sum=0,k=0;
	for(int i=2;sum<n;sum+=i,i++)
	{
		k++;
		a[k]=i;
	}
	if(sum>n+1)
	{
		a[sum-n-1]=0;
	}
	else if(sum==n+1)
	{
		a[k]+=1,a[1]=0;
	}
	b[0]=b[1]=1;
	for(int i=1;i<=k;i++)
	{
		if(a[i])
		{
			cout<<a[i]<<" ";
			sv(a[i]);
		}
	}
	cout<<endl;
	for(int i=len;i>=1;i--)
	{
		cout<<b[i];
	}
	cout<<endl;
	return 0;
}