P8814 [CSP-J 2022] 解密

题目描述

传送门

给定一个正整数 $k$，有 $k$ 次询问，每次给定三个正整数 $n_i,e_i,d_i$，求两个正整数 $p_i,q_i$，使 $n_i=p_i\times q_i$、$e_i\times d_i=(p_i-1)(q_i-1)+1$。

输入格式

第一行一个正整数 $k$，表示有 $k$ 次询问。

接下来 $k$ 行，第 $i$ 行三个正整数 $n_i,d_i,e_i$。

输出格式

输出 $k$ 行，每行两个正整数 $p_i,q_i$ 表示答案。

为使输出统一，你应当保证 $p_i\le q_i$。

如果无解，请输出 NO。

样例

样例输入

10
770 77 5
633 1 211
545 1 499
683 3 227
858 3 257
723 37 13
572 26 11
867 17 17
829 3 263
528 4 109

样例输出

2 385
NO
NO
NO
11 78
3 241
2 286
NO
NO
6 88

思路

数据范围

测试点编号	$k\le$	$n\le$	$m\le$	特殊性质
$1$	${10}^3$	${10}^3$	${10}^3$	保证有解
$2$	${10}^3$	${10}^3$	${10}^3$	无
$3$	${10}^3$	${10}^9$	$6\times {10}^4$	保证有解
$4$	${10}^3$	${10}^9$	$6\times {10}^4$	无
$5$	${10}^3$	${10}^9$	${10}^9$	保证有解
$6$	${10}^3$	${10}^9$	${10}^9$	无
$7$	${10}^5$	${10}^{18}$	${10}^9$	保证若有解则 $p=q$
$8$	${10}^5$	${10}^{18}$	${10}^9$	保证有解
$9$	${10}^5$	${10}^{18}$	${10}^9$	无
$10$	${10}^5$	${10}^{18}$	${10}^9$	无

由数据范围可知，要开long long.

由题目给出的代数式手动解，你会看到惊喜：

$$p+q=n-ed+2$$

在题目的数据范围标题下，你会看见：

$$m=n-e\times d+2$$

这恰好说明，我们手动解代数式的思路是对的。

初一学生看到这里应该会异常兴奋，因为在初一就学过了一元二次方程，其中告诉我们要解出$p,q$的值，就要算出$p+q$和$p-q$的值。而我们现在已知$p+q=n-ed+2,pq=n$，通过完全平方公式，就可以得到$p-q$了。

解题过程略(真的太长了)。

综上所述，我们可以解出：

$$p=(m+sqrt(m^2+4n))/2$$

$$q=(m-sqrt(m^2+4n))/2$$

其中，$m=n-ed+2$.

但是，为了防止喜提WA，我们还需要进行特判。

这道题只要掌握了思路，代码还是很好写的。

代码实现

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	int t;
	cin>>t;
	while(t--){
		long long n,e,d;
		cin>>n>>e>>d;
		long long m=n-e*d+2;
		long long p,q;
        
		p=(m+sqrt(m*m-4*n))/2;
		q=(m-sqrt(m*m-4*n))/2;
        
		if(n==p*q&&e*d==p*q-q-p+2&&p!=0&&q!=0){
			cout<<min(p,q)<<" "<<max(p,q)<<endl;
		}
		else{
			cout<<"NO"<<endl;
		}
	}
	return 0;
}