Han Xin and His Troops（扩展中国剩余定理 Python版）

Han Xin and His Troops（扩展中国剩余定理 Python版）

题目来源：2019牛客暑期多校训练营（第十场）

D - Han Xin and His Troops

题意：

  看标题就知道大概了，韩信点兵的典故我们应该都熟悉吧。
  给出 $n$ 个同余方程，问是否存在不超过 $m$ 的正整数解。
 

坑点：

  数据比较大，直接用 CRT 会爆 ll，这时候就用 Python 来实现。
 

AC代码：

n = 110         # 同余方程个数
a = [0]*110     # 余数
m = [0]*110     # 模数


"""扩展欧几里得"""
def exgcd(a, b):
    if 0 == b:
        return 1, 0, a
    x, y, q = exgcd(b, a % b)
    x, y = y, (x - a // b * y)
    return x, y, q
 

"""扩展中国剩余定理"""
def CRT():
    if n == 1 :
        if m[0] > a[0]:
            return a[0];
        else:
            return -1;
     
    for i in range(n):
        if m[i] <= a[i] :
            return -1;

        x, y, d = exgcd(m[0], m[i])
        if (a[i] - a[0]) % d != 0:
            return -1;    
            
        t = m[i] // d;
        x = (a[i] - a[0]) // d * x % t
        a[0] = x * m[0] + a[0];
        m[0] = m[0] * m[i] // d;
        a[0] = (a[0] % m[0] + m[0]) % m[0]
 
    return a[0];


n, k = map(int, input().split())
 
for i in range(n):
    m[i], a[i] = map(int, input().split())
 
ans = CRT()
if ans==-1:
    print("he was definitely lying")
elif ans<=k:
    print(ans)
else :
    print("he was probably lying")

 
 

PS：扩展中国剩余定理似乎与中国剩余定理（CRT）关系不大，以下给出推导过程。
 
对于一组同余方程

$$\begin{cases} {x} \equiv {a_1} \text{ mod } {m_1}\\ {x} \equiv {a_2} \text{ mod } {m_2}\\ \dots\\\\ {x} \equiv {a_n} \text{ mod } {m_n}\\ \end{cases}$$

我们通过依次合并两组方程得到新的同余方程，这样经过 $n-1$ 次操作后，就能得到方程组的解。

首先对于前两组方程有：

$${x = a_1 + k_1m_1}\\ {x= a_2 + k_2m_2}$$

可得

$${k_1m_1 - k_2m_2 = a_2-a_1}$$

由扩展欧几里得，我们可以得到下面方程的解 ${x_0, y_0}$

$${x_0m_1 - y_0m_2 = (m_1, m_2)}$$

设 ${d = (m_1, m_2)}$
当且仅当 ${(a_2-a_1)} \text{ mod } {d = 0}$，方程有解。

所以

$${x_0\frac{ a_2-a_1}{d}m_1 - y_0\frac{ a_2-a_1}{d}m_2 = a_2-a_1}$$

所以我们得到 $k_1$ 的一组解为

$$k_1 = x_0\frac{ a_2-a_1}{d}$$

方程的通解形式为

$$k_1 = k_1+n\frac{m_2}{d}\\ k_2 = k_2-n\frac{m_1}{d}$$

$k_1$ 的最小整数解为

$$k_1 = k_1\text{ mod } (m_2/d)$$

代回原方程 $x = a_1+k_1n_1$，我们得到 $x$ 的解以及 $a$.
此时方程组合并后的模数为

$$M = m_1*m_2/d$$

因此原方程合并为

$${x} = {a}\text{ mod } {M}$$