Han Xin and His Troops（扩展中国剩余定理 Python版）

Han Xin and His Troops（扩展中国剩余定理 Python版）

题目来源：2019牛客暑期多校训练营（第十场）

D - Han Xin and His Troops

题意：

  看标题就知道大概了，韩信点兵的典故我们应该都熟悉吧。
  给出 \(n\) 个同余方程，问是否存在不超过 \(m\) 的正整数解。
 

坑点：

  数据比较大，直接用 CRT 会爆 ll，这时候就用 Python 来实现。
 

AC代码：

n = 110         # 同余方程个数
a = [0]*110     # 余数
m = [0]*110     # 模数


"""扩展欧几里得"""
def exgcd(a, b):
    if 0 == b:
        return 1, 0, a
    x, y, q = exgcd(b, a % b)
    x, y = y, (x - a // b * y)
    return x, y, q
 

"""扩展中国剩余定理"""
def CRT():
    if n == 1 :
        if m[0] > a[0]:
            return a[0];
        else:
            return -1;
     
    for i in range(n):
        if m[i] <= a[i] :
            return -1;

        x, y, d = exgcd(m[0], m[i])
        if (a[i] - a[0]) % d != 0:
            return -1;    
            
        t = m[i] // d;
        x = (a[i] - a[0]) // d * x % t
        a[0] = x * m[0] + a[0];
        m[0] = m[0] * m[i] // d;
        a[0] = (a[0] % m[0] + m[0]) % m[0]
 
    return a[0];


n, k = map(int, input().split())
 
for i in range(n):
    m[i], a[i] = map(int, input().split())
 
ans = CRT()
if ans==-1:
    print("he was definitely lying")
elif ans<=k:
    print(ans)
else :
    print("he was probably lying")

 
 

PS：扩展中国剩余定理似乎与中国剩余定理（CRT）关系不大，以下给出推导过程。
 
对于一组同余方程

\[ \begin{cases} {x} \equiv {a_1} \text{ mod } {m_1}\\ {x} \equiv {a_2} \text{ mod } {m_2}\\ \dots\\\\ {x} \equiv {a_n} \text{ mod } {m_n}\\ \end{cases}\]

我们通过依次合并两组方程得到新的同余方程，这样经过 \(n-1\) 次操作后，就能得到方程组的解。

首先对于前两组方程有：

\[ {x = a_1 + k_1m_1}\\ {x= a_2 + k_2m_2}\]

可得

\[{k_1m_1 - k_2m_2 = a_2-a_1} \]

由扩展欧几里得，我们可以得到下面方程的解 \({x_0, y_0}\)

\[{x_0m_1 - y_0m_2 = (m_1, m_2)} \]

设 \({d = (m_1, m_2)}\)
当且仅当 \({(a_2-a_1)} \text{ mod } {d = 0}\)，方程有解。

所以

\[{x_0\frac{ a_2-a_1}{d}m_1 - y_0\frac{ a_2-a_1}{d}m_2 = a_2-a_1} \]

所以我们得到 \(k_1\) 的一组解为

\[k_1 = x_0\frac{ a_2-a_1}{d} \]

方程的通解形式为

\[k_1 = k_1+n\frac{m_2}{d}\\ k_2 = k_2-n\frac{m_1}{d}\]

\(k_1\) 的最小整数解为

\[k_1 = k_1\text{ mod } (m_2/d) \]

代回原方程 $x = a_1+k_1n_1 $，我们得到 \(x\) 的解以及 \(a\).
此时方程组合并后的模数为

\[M = m_1*m_2/d \]

因此原方程合并为

\[{x} = {a}\text{ mod } {M} \]