2019牛客暑期多校训练营（第一场）线性基

 

H - XOR

题意：给定n个整数，求所有异或和为0的子集的大小和。

思路：看到异或和，差不多就要往线性基上想。如果一些数异或和为0，肯定是线性基里的一些数和线性基外的一些数异或得到的，因为线性基外的数都能由线性基里的数异或得到。

先对n个数求线性基lb，设线性基大小为r。

1.线性基外的数的贡献：剩下 (n-r) 个数在线性基外。对于每一个线性基外的数，它可以和剩下的 (n-r-1) 的数任意组合，这种组合有 2^(n-r-1)，所以总共有的贡献 (n-r) * 2^(n-r-1)。

2.线性基内的数的贡献：对于每一个线性基内的数，如果有一个不包含它的线性基（由除它外的n-1数组成）能把它表示出来，那么它也就相当于是另一个线性基外的数，他的贡献也是 2^(n-r-1)。如果该数不能被剩下n-1个数的线性基表示出来，那么它不会出现在任何子集里，它的贡献为0。

 

关于线性基的介绍，看了好几篇博客，这篇比较详细。

这类题基本都是一样的套路：

1. 最大异或和
2. 第 k 大异或和 / 异或和是第几大
3. 求所有异或值的和

 

AC代码：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<vector>
using namespace std;
const int mod = 1e9+7;
typedef long long ll;

ll pow(ll a, ll n) {
    ll res = 1;
    while(n) {
        if(n&1) res = res * a % mod;
        a = a * a % mod;
        n >>= 1;
    }
    return res;
}
struct LB { // 线性基模板
    ll a[65];
    int cnt;
    LB() {
        memset(a, 0, sizeof(a));
    }
    ll insert(ll x) {
        for(int i=60;i>=0;i--) {
            if((x>>i)&1) {
                if(!a[i]) {  // a[i] 不存在
                    a[i] = x;
                    ++cnt;
                    break;
                } else {
                    x ^= a[i];
                }
            }
        }
        return x>0;
    }
};


int main() {
    int n;
    while(scanf("%d", &n)!=EOF) {
        LB lb1, lb2;
        int r = 0;
        vector<ll> v1, v2;
        ll ai;
        for(int i=1;i<=n;i++) {
            scanf("%lld", &ai);
            if(lb1.insert(ai)) {
                v1.push_back(ai);
            } else
                lb2.insert(ai);
        }
        if(v1.size()==n) {
            printf("0\n");
            continue;
        }
        
        //线性基外的数的总贡献
        ll ans = 1LL* (n-v1.size())* pow(2, n-v1.size()-1) % mod;
        
        //枚举每个线性基内的数 
        for(int i=0;i<v1.size();i++) {
            LB tmp = lb2;
            for(int j=0;j<v1.size();j++) {
                if(i==j) continue;
                tmp.insert(v1[j]);  //生成除了v1[i]之外的线性基
            }
            //如果v[i]能被线性基组成，他就属于线性基外的数
            if(!tmp.insert(v1[i])) ans = (ans + pow(2, n-v1.size()-1)) % mod;
        }
        
        printf("%lld\n", ans);
    }
    return 0;
}