[转][算法]01背包问题
原链接：http://www.cnblogs.com/justinzhang/archive/2012/04/10/2441199.html
记得大二参加数学建模的时候，开始接触了动态规划，在听过张老师的课后，当时使用matlab写了背包问题的代码，记得使用递归实现的。总之，对这个问题认识得非常的不清楚。以前强制记了好几次代码，过一段时间又忘了。虽然每次看书的时候还是可以回想起解题思路，但是心里总有种不踏实的感觉，由于上次腾讯笔试的刺激，发现这么多年以来，自己做的事情都有点南辕北辙、舍本逐末。计算机核心的离散数学、编译原理、组合数学、自动机理论，被放在了一边，从不过问。而去追求一些花哨的东西。真的是勿以往之不谏啊~~所以，虽然自己天天都在努力的工作，但是心里始终有不踏实的感觉，总是又被谴责鼻子走的感觉，那是因为自己根本没有抓住本质的东西，所以才会如此被动~~~计算机虽然已经和数学分得很开了，但是计算机毕竟产生于数学，所以逃避数学的做法是万万不可的。如果背离了数学而去搞计算，那么高度肯定是上不去了，以前认为只要把算法学好了就够了，现在才发现，离散数学、组合数学、自动机理论是如此的重要，在以后的学习和工作中，一定要勤思考才行。。
背包问题有0-1背包问题和fraction背包问题，前者规定每个物品要么选，要么不选，而fraction knanpsack允许选取一个物品的一部分，0-1背包问题是NP难的，而fraction knapsacks的复杂度是O(n*logn), 只需要将单位物品的价值按降序排列，利用贪心策略选取即可得到最优解。
给定一个背包，容量为C，有n个物品，重量为n维行向量w，价值为n维行向量v. |v|=|w|=n, n维向量y=[0,1,0….yn]代表物品的选法，其中的没有元素yi，要么是0、要么是1，为零代表选取第i个物品，为0表示不选取第i个物品。 目标函数是:Max(Sum(vi*yi)), 约束条件是sum(wi*yi) <=C, 其中 1=< i <=n.
背包问题具有最优子结构，令f(n,C)代表，有n个待选物品，背包容量为C时的最优解，此时物品选择向量为y=[y1,y2,…yn], 那么当yn=1时，y’=[y1, y2, …yn-1],必然为f(n-1, C-wn)的物品选择向量，当yn=0时，必然为f(n-1,C)的最优物品选择向量。所以背包问题可以由动态规划来求解。
根据上面的分析，我们可以得到如下的递归式:
当wn>C时， f(n,C)=f(n-1,C);
当wn<=C时，f(n，C) = max(f(n-1,C), vn+f(n-1, C-wn) );
初始条件为：f(i, 0) = 0; f(0,i) = 0; f(0,0) = 0;
根据上面的分析用递归实现的0-1背包代码如下：
?
1: /*
2: *
3: *时间：22012年4月10日19:46:27
4: *作者：JustinZhang
5: *Email:uestczhangchao@gmail.com
6: */
7:
8: #include <iostream>
9: #include <iomanip>
10: using namespace std;
11:
12: int w[]={1,3,4,5};//物品重量数组
13: int v[]={2,30,44,20};//物品价值数组
14: int C=5;//背包容量
15: int y[4]={-1,-1,-1,-1};//解向量,y[i]=1表示选取物品，y[i]=0表示不选取物品
16:
17:
18: int f(int n, int C)
19: {
20: if (n==0 || C==0)//当物品数量为0，或者背包容量为0时，最优解为0
21: {
22: return 0;
23: }
24: else
25: {
26: //从当前所剩物品的最后一个物品开始向前，逐个判断是否要添加到背包中
27: for (int i=n-1; i>=0;i++)
28: {
29: //如果当前要判断的物品重量大于背包当前所剩的容量，那么就不选择这个物品
30: //在这种情况的最优解为f(n-1,C)
31:
32: if (w[i]>C)
33: {
34: y[i]=0;
35: return f(n-1,C);
36: }
37: else
38: {
39: //如果当前待判断的物品重量wi<C,那么就选取f(n-1,C)和vi+f(n-1,C-wi)中的最大值
40: int tmp1 = f(n-1,C);//不选择物品i的情况下的最优解
41: int tmp2 = v[i] + f(n-1,C-w[i]);//选择物品i的情况下的最优解
42:
43: //返回选择物品i和不选择物品i中最优解大的一个
44: if (tmp1 > tmp2)
45: {
46: y[i]=0;//这种情况下表示物品i未被选取
47: return tmp1;
48: }
49: else
50: {
51: y[i]=1;//物品i被选取
52: return tmp2;
53: }
54:
55: }
56: }
57:
58: }
59:
60: }
61:
62:
63: int main()
64: {
65:
66: int maxvalue = f(4,5);
67: for (int i=0; i<4; i++)
68: {
69: if (y[i]==1)//为1表示相应的物品被选取
70: {
71: cout << "Object "<< i+1 << " is selected. " << "It's Vaule is " << setw(2)<< v[i] \
72: << " It's Weight is"<< setw(2)<<w[i] << endl;
73: }
74: }
75:
76: cout << "Maximum Value is: "<< maxvalue << endl;
77: return 0;
78: }
79:
80:
运行结果如下：
在算法导论上，背包问题的伪代码如下：
我们可以看到复杂度为O(nW),初看之下还以为这个算法的复杂度是多项式时间，但是书中明明说0-1背包问题是NP难问题啊，难道书中说错了吗？其实这里忽略的问题是，在上面的程序中n才是输入规模，而W并不是输入规模，因为它是背包的容量，而背包的数量一直都是为1的，如果在物品数量为n的情况下，背包的容量为2^n，那么这个算法的复杂度就是O(n*2^n), 所以这个问题是NP难的~~
