概率笔记 P01：随机事件与概率
1 基本概念
- 随机试验：可重复、所有可能结果或结果所在范围已知
- 样本空间\(\Omega\)、样本点\(\omega\)
- 随机事件：样本空间的子集。必然事件\(\Omega\)、不可能事件\(\varnothing\)。
- 事件的包含\(\subset, \supset\)、相等\(=\)、交\(\cap\)、并\(\cup\)、差\(-\)
- 互斥事件\(AB = \varnothing\)、对立事件\(\overline A = \Omega - A\)
- 运算规律
- 若\(A \subset B\)，则\(A \cup B = B, A \cap B = A\)
- \(A \cup B = B \cup A, \ A \cap B = B \cap A\)
- \(A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C, \\ A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C\)
- \(A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C), \\ A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)\)
- \(\overline{A \cup B} = \overline A \cap \overline B, \\ \overline {A \cap B} = \overline A \cup \overline B\)
- \(\displaystyle \overline {\bigcup_{i = 1}^n A_i} = \bigcap_{i = 1}^n \overline {A_i}, \\ \displaystyle \overline {\bigcap_{i = 1}^n A_i} = \bigcup_{i = 1}^n \overline{A_i}\)
- 频数、频率、概率
2 概率
定义
若实值函数\(P\)满足
- 对于任意事件\(P(A) \ge 0,\)
- 对于必然事件\(P(\Omega) = 1,\)
- 对于两两互斥的可数无穷多个事件有\(P(A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n \cup \cdots) = P(A_1) + P(A_2) + \cdots + P(A_n) + \cdots\)
则称\(P(\cdot)\)为概率。
性质
- \(P(\varnothing) = 0\)
- \(0 \le P(A) \le 1\)
- \(P(\overline A) = 1 - P(A)\)
- 对于两两互斥的有限个事件有\(P(A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n) = P(A_1) + P(A_2) + \cdots +P(A_n)\)
- \(A \subset B \implies P(A) \le P(B), P(B-A) = P(B) - P(A)\)
- 注意：\(P(A) = 0\)并不能得出\(A\)为不可能事件，\(P(B) = 1\)并不能得出\(B\)为必然事件；例如几何概型这样样本具有连续性的，有无穷个样本点，取到某个点的概论是 0，取不到某个点的概率是 1。
条件概率
\(P(B \mid A) = \cfrac {P(AB)}{P(A)}\)为在事件\(A\)发生的条件下事件\(B\)发生的条件概率。
事件的独立性
设\(A, B\)两事件满足\(P(AB) = P(A) P(B)\)，则称\(A,B\)两事件独立。
注意：多个事件独立并不是简单的满足上式，需要这些事件的全部任意组合都满足上式才行。如\(A,B,C\)相互独立需满足
\(\begin{cases} P(AB) = P(A) P(B) \\ P(BC) = P(B) P(C) \\ P(AC) = P(A) P(C) \\ P(ABC) = P(A) P(B) P(C) \end{cases}\)
- \(A,B\)相互独立、\(A,\overline B\)相互独立、\(\overline A, B\)相互独立、\(\overline A, \overline B\)相互独立这四个结论之间等价。
- \(A,B\)相互独立\(\iff P(B \mid A) = P(B) \iff P(B \mid A) = P(B \mid \overline A)\)
- 当多个事件相互独立时，它的部分也相互独立。
常用公式
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加法公式：\(P(A \cup B) = P(A) + P(B ) - P(AB)\)
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减法公式：\(P(A-B) = P(A) - P(AB) = P(A\overline B)\)
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乘法公式：\(P(AB) = P(B \mid A) P(A)\)，\(P(A_1 A_2 \cdots A_n) = P(A_1) P(A_2 \mid A_1) \cdots P(A_n \mid A_1 A_2 \cdots A_{n-1})\)
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全概率公式：设\(B_1, B_2, \cdots, B_n\)满足\(\displaystyle \bigcup_{i = 1}^n B_i = \Omega, B_i B_j = \varnothing(i \neq j)\)且\(P(B_k) \gt 0,k = 1, 2, \cdots, n\)，则对任意事件\(A\)有\(P(A) = \displaystyle \sum_{i=1}^n P(B_i) P(A \mid B_i)\)。
当\(n = 2\)时，全概率公式为\(P(A) = P(A \mid B) P(B) + P(A \mid \overline B) P(\overline B)\)
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贝叶斯公式：设\(B_1, B_2, \cdots, B_n\)满足\(\displaystyle \bigcup_{i = 1}^n B_i = \Omega, B_i B_j = \varnothing(i \neq j)\)且\(P(A) \gt 0, P(B_k) \gt 0,k = 1, 2, \cdots, n\)，则\(P(B_j \mid A) = \displaystyle \cfrac {P(B_j) P(A \mid B_j)}{\displaystyle\sum_{i=1}^n P(B_i) P(A \mid B_i)}\)。
（贝叶斯公式表征的是在已知一个结果的情况下，对题设条件的推断。）
3 古典概型和伯努利概型
古典概型
包含有限个样本点，且每个样本点发生的概率相同。
\(P(A) = \cfrac {n_A}n\)
几何概型
样本区间可以表示为一个几何区域，且每个样本点发生的概率相同。
\(P(A) = \cfrac {L(\Omega_A)}{L(\Omega)} = \cfrac {\text{the area of }\Omega_A}{\text{the area of }\Omega}\)，几何度量如长度、面积、体积等。
\(n\)重伯努利概型
各次实验是相互独立的，且每次实验只有两种结果中的一种。
设\(P(A) = p\)，则在\(n\)重伯努利试验中事件\(A\)发生\(k\)次的概率为\(\mathrm{C}_n^k p^k(1-p)^{n-k}, k = 1, 2, \cdots, n\)。
