线代笔记 P06：二次型

1 二次型的定义与矩阵表示

定义

\(n\)个变量的一个二次元齐次多项式

\(\begin{aligned} f(x_1, x_2, \cdots, x_n) = a_{11} x_1^2 + 2 a_{12} x_1 x_2 + 2a_{13} x_1 x_3 + \cdots + 2a_{1n} x_1 x_n \\+ a_{22} x_2^2 + 2a_{23} x_2 x_3 + \cdots + 2a_{2n} x_2 x_n \\ + \cdots \cdots \cdots \cdots \\ + a_{nn} x_n^2 \\ \end{aligned}\)

称为\(n\)个变量的二次型，系数均为实数时，称为\(n\)元实二次型。

注意：\(a_{ij}\)是系数的一半。

矩阵表示

\(f(x_1, x_2, \cdots x_n) = [x_1, x_2, \cdots, x_n] \left[ \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{matrix} \right] = \boldsymbol x^T \boldsymbol {Ax}\)

其中\(\boldsymbol A^T = \boldsymbol A\)称为二次型\(f\)的对应矩阵。

• \(r(\boldsymbol A) = r \iff r(f) = r\)
• \(\boldsymbol A\)正定\(\iff f\)正定
• 若\(\boldsymbol A, \boldsymbol B\)是两个\(n\)阶对称阵，\(f = \boldsymbol x^T \boldsymbol {Ax}, g = \boldsymbol x^T \boldsymbol {Ax}\)
  • \(\boldsymbol A = \boldsymbol B \iff f = g\)
  • \(\boldsymbol A \simeq \boldsymbol B \iff f \simeq g\)，合同关系\(\simeq\)见下。

合同矩阵

若存在可逆矩阵\(\boldsymbol C\)使得\(\boldsymbol C^T \boldsymbol {AC} = \boldsymbol B\)，则称\(\boldsymbol A\)合同于\(\boldsymbol B\)，记为\(\boldsymbol A \simeq \boldsymbol B\)。

• \(\boldsymbol A \simeq \boldsymbol A\)

• \(\boldsymbol A \simeq \boldsymbol B \iff \boldsymbol B \simeq \boldsymbol A\)

• \(\boldsymbol A \simeq \boldsymbol B, \boldsymbol B \simeq \boldsymbol C \implies \boldsymbol A \simeq \boldsymbol C\)

• \(f(x,_1, x_2, \cdots, x_n) = \boldsymbol x^T \boldsymbol {Ax} = (\boldsymbol {Cy})^T \boldsymbol{ACy = \boldsymbol y^T \boldsymbol C^T \boldsymbol {ACy} \\= \boldsymbol y^T \boldsymbol {By}} = g(y_1, y_2, \cdots, y_n)\)，

  其中\(\boldsymbol x = \boldsymbol {Cy}, \boldsymbol B = \boldsymbol C^T \boldsymbol {AC}\)。此时\(\boldsymbol A, \boldsymbol B\)为合同矩阵，\(f,g\)为合同二次型。

• 合同矩阵、合同二次型都有相同的秩。

2 化二次型为标准型、规范型

• 若二次型只有平方项，没有混合项，则称为二次型的标准型。

• 在二次型的标准型中，若平方项的系数只有 1、-1、0，则称为二次型的规范型

• 化二次型为标准型：

  • 配方法：对任意\(n\)阶实对称矩阵\(\boldsymbol A\)，必存在可逆矩阵\(\boldsymbol C\)，使得\(\boldsymbol C^T \boldsymbol {AC} = \boldsymbol \Lambda\)。因此，令\(\boldsymbol x = \boldsymbol {Cy}\)，将二次型化成标准型\(f(x_1, x_2, \cdots, x_n) = \boldsymbol x^T \boldsymbol {Ax} = \boldsymbol y^T \boldsymbol C^T \boldsymbol {ACy} = d_1 y_1^2 + d_2 y_2^2 + \cdots + d_n y_n^2\) 。
  • 正交变换法：对任意\(n\)阶实对称矩阵\(\boldsymbol A\)，必存在正交矩阵\(\boldsymbol Q\)，使得\(\boldsymbol Q^{-1} \boldsymbol {AQ} = \boldsymbol Q^T \boldsymbol {AQ} = \boldsymbol \Lambda\)。因此，令\(\boldsymbol x = \boldsymbol {Qy}\)，将二次型化成标准型\(f(x_1, x_2, \cdots, x_n) = \boldsymbol x^T \boldsymbol {Ax} = \boldsymbol y^T \boldsymbol Q^T \boldsymbol {AQy} = \lambda_1 y_1^2 + \lambda_2 y_2^2 + \cdots + \lambda_n y_n^2\) ，其中\(\lambda_1， \lambda_2, \cdots, \lambda_n\)是\(\boldsymbol A\)的\(n\)个特征值。

• 对于一个二次型，化成的标准型或者规范性不唯一，但是标准型中的正平方项的项数\(p\)、负平方项的项数\(q\)都是二次型唯一确定的。\(p\)称为正惯性系数，\(q\)称为负惯性系数，二次型的秩\(r = p + q\)。

  \(\boldsymbol A \simeq \boldsymbol B \iff \boldsymbol x^T \boldsymbol {Ax}, \boldsymbol x^T \boldsymbol {Bx}\)有相同的正、负惯性系数。

3 正定二次型

定义

若对于任意的非零向量\(\boldsymbol x = [x_1, x_2, \cdots, x_n]^T\)，恒有\(f(x_1, x_2, \cdots, x_n) = \displaystyle \sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^n a_{ij} x_i x_j = \boldsymbol x^T \boldsymbol {Ax} \gt 0\)，则称二次型\(f\)为正定二次型，对应矩阵称为正定矩阵。

• \(f(x_1, x_2, \cdots, x_n) = d_1 x_1^2 + d_2 x_2^2 + \cdots + d_n x_n^2\)正定\(\iff d_i \gt 0, i = 1, 2, \cdots, n\)，也即正惯性系数\(p = n = r\)。

• 可逆线性变换不改变二次型的正定性，因此若要判断一个二次型是否是正定，应先将其化成标准型。

• \(f(x_1, x_2, \cdots, x_n) = \boldsymbol x^T \boldsymbol {Ax}\)正定

  \(\iff \boldsymbol A\)的正惯性指数\(p = r = n \iff \boldsymbol A \simeq \boldsymbol E\)

  \(\iff \boldsymbol A = \boldsymbol D^T \boldsymbol D\)，其中\(\boldsymbol D\)是可逆矩阵

  \(\iff \boldsymbol A\)的特征值全部大于零\(\iff \boldsymbol A\)的全部顺序主子式大于零。

• \(f(x_1, x_2, \cdots, x_n) = \boldsymbol x^T \boldsymbol {Ax}\)正定

  \(\implies \boldsymbol A​\)的主对角元素\(a_{ii} \gt 0​\)

  \(\implies \boldsymbol A\)的行列式\(|\boldsymbol A| \gt 0\)

• \(\boldsymbol A\)正定时，与其相关的\(k \boldsymbol A, \boldsymbol A^T, \boldsymbol A^{-1}, \boldsymbol A^k, \boldsymbol A^*, f(\boldsymbol A) \ (f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_n x^n)\)均为正定矩阵。