线代笔记 P05：特征值、特征向量、相似矩阵
1 特征值、特征向量
定义
\(\boldsymbol A\)是\(n\)阶方阵，如果对应数\(\lambda\)，存在非零向量\(\boldsymbol \alpha\)，使得\(\boldsymbol {A \alpha} = \lambda \boldsymbol \alpha\)，则称\(\lambda\)为矩阵\(\boldsymbol A\)的特征值，\(\boldsymbol \alpha\)为矩阵\(\boldsymbol A\)的对应有\(\lambda\)的特征向量。
由上可得\((\lambda \boldsymbol E - \boldsymbol A)\boldsymbol \alpha = \boldsymbol 0\)，而\(\boldsymbol \alpha \neq \boldsymbol 0\)，因此 \(|\lambda \boldsymbol E - \boldsymbol A| = 0\)，称为\(\boldsymbol A\)的特征方程，矩阵\(\lambda \boldsymbol E - \boldsymbol A\)称为特征矩阵。
性质
设\(\boldsymbol A = [a_{ij}]_{n \times n}, \lambda_i(i = 1, 2, \cdots, n)\)是\(\boldsymbol A\)的特征值，则
- \(\displaystyle \sum_{i = 1}^n \lambda_i = \sum_{i = 1}^n a_{ii}\)
- \(\displaystyle \prod_{i = 1}^n \lambda_i = |\boldsymbol A|\)
- \(\lambda_1 \neq \lambda_2\)都是\(\boldsymbol A\)的特征值\(\implies \boldsymbol A\)的对应于\(\lambda_1, \lambda_2\)的特征向量\(\boldsymbol \alpha_1, \boldsymbol \alpha_2\)线性无关。
- \(\lambda_i\)是\(n\)阶矩阵\(\boldsymbol A\)的\(r_i\)重特征值，则其对应的线性无关特征向量个数至多\(r_i\)个。
求特征值、特征向量
- 由\(|\lambda \boldsymbol E - \boldsymbol A| = 0\)求出\(\boldsymbol A\)的全部特征值\(\lambda_i\)，再由齐次线性方程组\((\lambda_i \boldsymbol E - \boldsymbol A)\boldsymbol X = \boldsymbol 0\)求出对应的特征向量。通解就是全体特征向量。
- 利用定义，一般用于抽象矩阵。
2 相似矩阵、矩阵的相似对角化
定义
设\(\boldsymbol A,\boldsymbol B\)都是\(n\)阶矩阵，若存在可逆矩阵\(\boldsymbol P\)使得\(\boldsymbol P^{-1} \boldsymbol {AP} = \boldsymbol B\)，则\(\boldsymbol A \sim \boldsymbol B\)。
若\(\boldsymbol A \sim \boldsymbol \Lambda\)，其中\(\boldsymbol \Lambda\)为对角阵，则称\(\boldsymbol A\)可相似对角化，\(\boldsymbol \Lambda\)是\(\boldsymbol A\)的标准型。
相似矩阵的性质
- \(\boldsymbol A \sim \boldsymbol A\)
- \(\boldsymbol A \sim \boldsymbol B \implies \boldsymbol B \sim \boldsymbol A\)
- \(\boldsymbol A \sim \boldsymbol B, \boldsymbol B \sim \boldsymbol C \implies \boldsymbol A \sim \boldsymbol C\)
- 若\(\boldsymbol A \sim \boldsymbol B\)，则
- \(|\lambda \boldsymbol E - \boldsymbol A| = |\lambda \boldsymbol E - \boldsymbol B|\)
- \(r(\boldsymbol A) = r(\boldsymbol B)\)
- \(\boldsymbol A, \boldsymbol B\)有相同的特征值
- \(|\boldsymbol A| = |\boldsymbol B| = \displaystyle \prod_{i = 1}^n \lambda_i\)
- \(\displaystyle \sum_{i = 1}^n a_{ii} = \sum_{i = 1}^n b_{ii} = \sum_{i = 1}^n \lambda_{ii}\)
- \(\boldsymbol P^{-1} \boldsymbol A^n \boldsymbol P = \boldsymbol B^n \implies \boldsymbol A^n \sim \boldsymbol B^n\)
矩阵相似对角化的条件
- \(n\)阶矩阵\(\boldsymbol A\)可相似对角化\(\iff \boldsymbol A\)有\(n\)个线性无关的特征向量。
- \(n\)阶矩阵\(\boldsymbol A\)有\(n\)个互不相同的特征值\(\implies \boldsymbol A\)有\(n\)个线性无关的特征向量。此时，特征值\(\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n\)的对应的特征向量为\(\boldsymbol \alpha_1, \boldsymbol \alpha_2, \cdots, \boldsymbol \alpha_n\)，取\(\boldsymbol P = [\boldsymbol \alpha_1, \boldsymbol \alpha_2, \cdots, \boldsymbol \alpha_n]\)，则有\(\boldsymbol P^{-1} \boldsymbol {AP} = \boldsymbol \Lambda\)，其中\(\boldsymbol \Lambda = \left[ \begin{matrix} \lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_n \\ \end{matrix}\right]\)
- \(n\)阶矩阵\(\boldsymbol A\)的每一个\(r_i\)重特征值对应的线性无关特征向量个数等于该特征值的重数\(r_i \iff \boldsymbol A\)可相似对角化。
3 实对称矩阵的相似对角化
定义
元素都是实数的对称矩阵称为实对称矩阵\(\iff \overline{\boldsymbol A} = \boldsymbol A^T = \boldsymbol A\)
性质
- 实对称矩阵的特征值全部都是实数。
- 实对称矩阵的属于不同特征值对应的特征向量互相正交。
- 实对称矩阵必相似于对角阵，且存在正交矩阵\(\boldsymbol Q\)，使得\(\boldsymbol Q^{-1} \boldsymbol {AQ} = \boldsymbol Q^T \boldsymbol {AQ} = \boldsymbol \Lambda\)。
步骤
- 解特征方程\(|\lambda \boldsymbol E - \boldsymbol A| = 0\)，求出所有的特征值\(\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_r\)；
- 求\((\lambda_i \boldsymbol E - \boldsymbol A)\boldsymbol X = \boldsymbol 0\)的基础解系\(\boldsymbol \alpha_{i1}, \boldsymbol \alpha_{i2}, \cdots, \boldsymbol \alpha_{ik_i}, \ i = 1, 2, \cdots, r\)；
- 将每个属于\(\lambda_i\)的特征向量正交化；
- 将正交化之后的特征向量单位化，得到标准正交向量组；
- 将其合并成正交矩阵\(\boldsymbol Q\)，即是所求的正交阵。
