线代笔记 P04：线性方程组

1 克拉默法则

• 若非齐次线性方程组的系数行列式\(|\boldsymbol A| \neq 0\)，则方程组有唯一解，且\(x_i = \cfrac{|\boldsymbol A_i|}{\boldsymbol A}, i = 1, 2, \cdots, n\)。其中\(|\boldsymbol A_i|\)是\(|\boldsymbol A|\)的第 \(i\) 列元素替换称方程组右端的常数项\(b_1, b_2, \cdots, b_n\)所构成的行列式。
• 若齐次线性方程组的系数行列式\(|\boldsymbol A| = 0\)，则方程组有非零解；否则，方程组有唯一零解。

2 齐次线性方程组

\(\boldsymbol {Ax} = \boldsymbol 0\)

• 基础解系：设\(\boldsymbol \xi_1,\boldsymbol \xi_2, \cdots, \boldsymbol \xi_{n-r}\)是\(\boldsymbol {Ax} = \boldsymbol 0\)的解向量，若满足(1)\(\boldsymbol \xi_1,\boldsymbol \xi_2, \cdots, \boldsymbol \xi_{n-r}\)线性无关，(2)任一解向量都可以由\(\boldsymbol \xi_1,\boldsymbol \xi_2, \cdots, \boldsymbol \xi_{n-r}\)线性表出，则称向量组\(\boldsymbol \xi_1,\boldsymbol \xi_2, \cdots, \boldsymbol \xi_{n-r}\)为\(\boldsymbol {Ax} = \boldsymbol 0\)基础解系。

• 齐次线性方程组的基础解系的线性组合仍是该齐次线性方程组的解。

  通解记为\(k_1 \boldsymbol \xi_1 + k_2 \boldsymbol \xi_2 + \cdots + k_{n-r} \boldsymbol \xi_{n-r}\)。

• \(r(\boldsymbol A) = r\)，基础解系有\(n-r\)个线性无关解向量组成。

• 齐次线性方程组一定有解，至少有零解。

• 齐次线性方程组\(\boldsymbol A_{m \times n} \boldsymbol X = [\boldsymbol \alpha_1, \boldsymbol \alpha_2, \cdots, \boldsymbol \alpha_n] \boldsymbol X = \boldsymbol 0\)只有零解\(\iff \boldsymbol \alpha_1, \boldsymbol \alpha_2, \cdots, \boldsymbol \alpha_n\)线性无关\(\iff r(\boldsymbol \alpha_1, \boldsymbol \alpha_2, \cdots, \boldsymbol \alpha_n) = r(\boldsymbol A) = n\)

• 齐次线性方程组\(\boldsymbol A_{m \times n} \boldsymbol X = [\boldsymbol \alpha_1, \boldsymbol \alpha_2, \cdots, \boldsymbol \alpha_n] \boldsymbol X = \boldsymbol 0\)有非零解\(\iff \boldsymbol \alpha_1, \boldsymbol \alpha_2, \cdots, \boldsymbol \alpha_n\)线性相关\(\iff r(\boldsymbol \alpha_1, \boldsymbol \alpha_2, \cdots, \boldsymbol \alpha_n) = r(\boldsymbol A) \lt n\)

求基础解系和通解

1. 将系数矩阵利用初等行变换化成阶梯型矩阵；
2. 阶梯型矩阵中的第一个系数不为零的\(r\)个未知量称为独立未知量，后面的未知量称为自由未知量。将自由未知量分别赋值 1 得到\(n-r\)向量，分别带入原方程求得独立未知量的值。
3. 上面得到的\(n-r\)个解就是方程的基础解系；
4. 将其写成通解形式。

3 非齐次线性方程组

\(\boldsymbol {Ax} = \boldsymbol b\)

• 通解记为\(k_1 \boldsymbol \xi_1 + k_2 \boldsymbol \xi_2 + \cdots + k_{n-r} \boldsymbol \xi_{n-r} + \boldsymbol \eta\)。\(\boldsymbol \eta\) 为特解。

• 非齐次线性方程组\(\boldsymbol {Ax} = \boldsymbol b\)两个解的差是对应齐次线性方程组\(\boldsymbol {Ax} = \boldsymbol 0\)的解。

  \(\boldsymbol A (\boldsymbol \eta_1 - \boldsymbol \eta_2) = \boldsymbol 0\)，\(\boldsymbol A (\boldsymbol \eta_1 + k \boldsymbol \xi) = \boldsymbol b\)，其中\(\boldsymbol \xi\)是齐次线性方程组\(\boldsymbol {Ax} = \boldsymbol 0\)的一个解。

• 非齐次线性方程组\(\boldsymbol A_{m \times n} \boldsymbol X = [\boldsymbol \alpha_1, \boldsymbol \alpha_2, \cdots, \boldsymbol \alpha_n] \boldsymbol X = \boldsymbol b\)无解\(\iff \boldsymbol b\)不能由\(\boldsymbol \alpha_1, \boldsymbol \alpha_2, \cdots, \boldsymbol \alpha_n\)线性表出\(\iff r(\boldsymbol A) \neq r(\boldsymbol A \mid \boldsymbol b)\)

• 非齐次线性方程组\(\boldsymbol A_{m \times n} \boldsymbol X = [\boldsymbol \alpha_1, \boldsymbol \alpha_2, \cdots, \boldsymbol \alpha_n] \boldsymbol X = \boldsymbol b\)有解\(\iff \boldsymbol b\)可以由\(\boldsymbol \alpha_1, \boldsymbol \alpha_2, \cdots, \boldsymbol \alpha_n\)线性表出\(\iff r(\boldsymbol A) = r(\boldsymbol A \mid \boldsymbol b)\)

  • 若\(r(\boldsymbol \alpha_1, \boldsymbol \alpha_2, \cdots, \boldsymbol \alpha_n) = r(\boldsymbol \alpha_1, \boldsymbol \alpha_2, \cdots, \boldsymbol \alpha_n, \boldsymbol b) = n \iff \boldsymbol {Ax} = \boldsymbol b\)有唯一解。
  • 若\(r(\boldsymbol \alpha_1, \boldsymbol \alpha_2, \cdots, \boldsymbol \alpha_n) = r(\boldsymbol \alpha_1, \boldsymbol \alpha_2, \cdots, \boldsymbol \alpha_n, \boldsymbol b) = r \lt n \iff \boldsymbol {Ax} = \boldsymbol b\)有无穷多解。

求通解

1. 将增广矩阵\((\boldsymbol A \mid \boldsymbol b)\)利用初等变换化成阶梯型矩阵，求对应齐次线性方程组\(\boldsymbol {Ax} = \boldsymbol 0\)的通解；
2. 再求一个非齐次特解\(\boldsymbol \eta\)；
3. 将上述两部分组合写成通解形式。