线代笔记 P03：向量

1 向量的定义和计算

计算

• 加减，与矩阵的加减类似。

• 数乘，与矩阵的数乘类似。

• 内积\((\boldsymbol \alpha, \boldsymbol \beta) = a_1 b_1 + a_2 b_2 +\cdots + a_n b_n = \boldsymbol \alpha^T \boldsymbol \beta = \boldsymbol \beta^T \boldsymbol \alpha\)

  若\((\boldsymbol \alpha, \boldsymbol \beta) = 0\)，则称两向量正交。

  \((\boldsymbol \alpha, \boldsymbol \alpha) = a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2\)，\(\sqrt{a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2}\)为向量的长度。

  • \((\boldsymbol \alpha, \boldsymbol \beta) = (\boldsymbol \beta, \boldsymbol \alpha)\)
  • \(k(\boldsymbol \alpha, \boldsymbol \beta) = (k\boldsymbol \alpha, \boldsymbol \beta) = (\boldsymbol \alpha, k\boldsymbol \beta)\)
  • \((\boldsymbol \alpha + \boldsymbol \beta, \boldsymbol \gamma) = (\boldsymbol \alpha, \boldsymbol \gamma) + (\boldsymbol \beta, \boldsymbol \gamma)\)
  • \((\boldsymbol \alpha, \boldsymbol \alpha) \ge 0\)
  • \((\boldsymbol \alpha, \boldsymbol \beta)^2 \le (\boldsymbol \alpha, \boldsymbol \alpha)(\boldsymbol \beta, \boldsymbol \beta)\) （施瓦茨不等式）

2 线性相关

线性表出

• 线性组合\(k_1 \boldsymbol \alpha_1 + k_2 \boldsymbol \alpha_2 + \cdots + k_m \boldsymbol \alpha_m\)。
• 向量\(\boldsymbol \beta\)可由\(\boldsymbol \alpha_1, \boldsymbol \alpha_2, \cdots, \boldsymbol \alpha_m\)线性表出：存在实数\(k_1, k_2, \cdots, k_m\)使得\(\boldsymbol \beta = k_1 \boldsymbol \alpha_1 + k_2 \boldsymbol \alpha_2 + \cdots + k_m \boldsymbol \alpha_m\)。
• 两个向量组可以互相线性表出，称这两个向量组等价。
  • 等价向量组具有传递性、对称性、反身性。
  • 向量组和它的极大线性无关组是等价向量组。
  • 向量组的任意两个极大线性无关组是等价向量组。
  • 等价向量组有相同的秩，但是反之不成立。

线性无关

• 线性相关：存在不全为零的实数\(k_1, k_2, \cdots, k_m\)使得\(k_1 \boldsymbol \alpha_1 + k_2 \boldsymbol \alpha_2 + \cdots + k_m \boldsymbol \alpha_m = \boldsymbol 0\)成立，否则称它线性无关。

• \(n\)维向量组\(\boldsymbol \alpha_1, \boldsymbol \alpha_2, \cdots, \boldsymbol \alpha_m\)线性相关\(\iff\)齐次方程组\((\boldsymbol \alpha_1, \boldsymbol \alpha_2, \cdots, \boldsymbol \alpha_m) \left[ \begin{matrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_m \\ \end{matrix} \right] = \boldsymbol 0\)有非零解\(\iff r(\boldsymbol \alpha_1, \boldsymbol \alpha_2, \cdots, \boldsymbol \alpha_m) \lt m \iff\)向量组中至少有一个向量可以被其余向量线性表出。

  • \(n\)个\(n\)维向量\(\boldsymbol \alpha_1, \boldsymbol \alpha_2, \cdots, \boldsymbol \alpha_n\)线性相关\(\iff |\boldsymbol \alpha_1, \boldsymbol \alpha_2, \cdots, \boldsymbol \alpha_n| = 0\)
  • \(n+1\)个\(n\)维向量必线性相关。
  • 若\(\boldsymbol \alpha_1, \boldsymbol \alpha_2, \cdots, \boldsymbol \alpha_r\)线性相关，则\(\boldsymbol \alpha_1, \boldsymbol \alpha_2, \cdots, \boldsymbol \alpha_r, \boldsymbol \alpha_{r+1}, \cdots, \boldsymbol \alpha_s\)必线性相关。
  • 若\(n\)维向量组\(\boldsymbol \alpha_1, \boldsymbol \alpha_2, \cdots, \boldsymbol \alpha_m\)线性无关，则它的延伸组\(\left( \begin{matrix} \boldsymbol \alpha_1 \\ \boldsymbol \beta_1 \end{matrix} \right), \left( \begin{matrix} \boldsymbol \alpha_2 \\ \boldsymbol \beta_2 \end{matrix} \right), \cdots, \left( \begin{matrix} \boldsymbol \alpha_m \\ \boldsymbol \beta_m \end{matrix} \right)\)必线性无关。

• \(n\)维向量组\(\boldsymbol \beta\)可由\(\boldsymbol \alpha_1, \boldsymbol \alpha_2, \cdots, \boldsymbol \alpha_m\)线性表出\(\iff\)非齐次方程组\((\boldsymbol \alpha_1, \boldsymbol \alpha_2, \cdots, \boldsymbol \alpha_m) \left[ \begin{matrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_m \\ \end{matrix} \right] = \boldsymbol \beta\)有解\(\iff r(\boldsymbol \alpha_1, \boldsymbol \alpha_2, \cdots, \boldsymbol \alpha_m) =r(\boldsymbol \alpha_1, \boldsymbol \alpha_2, \cdots, \boldsymbol \alpha_m, \boldsymbol \beta)\)

• 向量组\(\boldsymbol \alpha_1, \boldsymbol \alpha_2, \cdots, \boldsymbol \alpha_m\)线性无关，且向量组\(\boldsymbol \alpha_1, \boldsymbol \alpha_2, \cdots, \boldsymbol \alpha_m, \boldsymbol \beta\)线性相关，则向量\(\boldsymbol \beta\)可由\(\boldsymbol \alpha_1, \boldsymbol \alpha_2, \cdots, \boldsymbol \alpha_m\)线性表出，且表示法唯一。

• 若\(n\)维向量组\(\boldsymbol \alpha_1, \boldsymbol \alpha_2, \cdots, \boldsymbol \alpha_s\)能够由\(n\)维向量组\(\boldsymbol \beta_1, \boldsymbol \beta_2, \cdots, \boldsymbol \beta_t\)线性表出，且\(s \gt t\)，则\(\boldsymbol \alpha_1, \boldsymbol \alpha_2, \cdots, \boldsymbol \alpha_s\)线性相关。

  若\(n\)维向量组\(\boldsymbol \alpha_1, \boldsymbol \alpha_2, \cdots, \boldsymbol \alpha_s\)能够由\(n\)维向量组\(\boldsymbol \beta_1, \boldsymbol \beta_2, \cdots, \boldsymbol \beta_t\)线性表出，且\(\boldsymbol \alpha_1, \boldsymbol \alpha_2, \cdots, \boldsymbol \alpha_s\)线性无关，则\(s \le t\)。

3 极大线性无关组、秩

• 极大线性无关组
  • 只有一个零向量构成的向量组没有极大线性无关组。
  • 极大线性无关组虽然一般不唯一，但是其向量个数是一定的。
  • \(r(\boldsymbol a_1, \boldsymbol a_2, \cdots, \boldsymbol a_s) \le r(\boldsymbol a_1, \boldsymbol a_2, \cdots, \boldsymbol a_s, \boldsymbol a_{s+1})\)
• 如果向量组(I)可以由向量组(II)线性表出，则\(r(\mathrm I) \le r(\mathrm {II})\)。如果两个向量组等价（可以相互线性表出），则其秩相等。
• \(r(\boldsymbol A) = \boldsymbol{A}\)的行秩\(= \boldsymbol{A}\)的列秩。
• 经初等变换后的向量组的秩不变。

4 正交矩阵

正交矩阵

• 满足\(\boldsymbol {AA}^T = \boldsymbol A^T \boldsymbol A = \boldsymbol E\)的矩阵
• \(\boldsymbol A\)是正交矩阵\(\iff \boldsymbol A^T = \boldsymbol A^{-1} \iff \boldsymbol A\)的列向量（行向量）组是正交规范的向量组。
• 若\(\boldsymbol A\)是正交矩阵，则\(|\boldsymbol A| = 1 \ or \ -1\)。

Schmidt 标准正交化

设向量组\(\boldsymbol \alpha_1, \boldsymbol \alpha_2, \boldsymbol \alpha_3\)线性无关，其标准正交化方法步骤如下：

令\(\boldsymbol \beta_1 = \boldsymbol \alpha_1\)，\(\boldsymbol \beta_2 = \boldsymbol \alpha_2 - \cfrac{(\boldsymbol \alpha_2,\boldsymbol \beta_1)}{(\boldsymbol \beta_1, \boldsymbol \beta_1)} \boldsymbol \beta_1\)，\(\boldsymbol \beta_3 = \boldsymbol \alpha_3 - \cfrac{(\boldsymbol \alpha_3, \boldsymbol \beta_1)}{(\boldsymbol \beta_1, \boldsymbol \beta_1)} \boldsymbol \beta_1 - \cfrac{(\boldsymbol \alpha_3, \boldsymbol \beta_2)}{(\boldsymbol \beta_2, \boldsymbol \beta_2)} \boldsymbol \beta_2\)，则\(\boldsymbol \beta_1,\boldsymbol \beta_2, \boldsymbol \beta_3\)两两正交。

再将其单位化，取\(\boldsymbol \gamma_1 = \cfrac {\boldsymbol \beta_1}{|\boldsymbol \beta_1|}\)，\(\boldsymbol \gamma_2 = \cfrac {\boldsymbol \beta_2}{|\boldsymbol \beta_2|}\)，\(\boldsymbol \gamma_3 = \cfrac {\boldsymbol \beta_3}{|\boldsymbol \beta_3|}\)

5 向量空间

• 全体\(n\)维向量连同向量的加法和数乘运算合成\(n\)维向量空间。
• 子空间、基底(在本空间下一个可以表示其他所有向量的线性无关组）、坐标（用基底表示一个向量时的各个向量的系数）、维数\(\mathrm{dim}V = m\)
• 规范正交基：满足\((\boldsymbol e_i, \boldsymbol e_j) = \begin{cases} 1, & i = j \\ 0, & i \neq j \\ \end{cases}\)的一组基。
• 齐次方程组的解的集合是一个向量空间的子空间，又称解空间，其基础解系是这个解空间的一个基底。
• 有一个基底变换到另一个基底的方法，使用过渡矩阵。
  • 基底变换公式 \([\boldsymbol \beta_1, \boldsymbol \beta_2, \cdots, \boldsymbol \beta_n] = [\boldsymbol \alpha_1, \boldsymbol \alpha_2, \cdots, \boldsymbol \alpha_n] \boldsymbol C\)
  • 坐标变换公式 若向量\(\boldsymbol \gamma\)在基底\(\boldsymbol \alpha_1, \boldsymbol \alpha_2, \cdots, \boldsymbol \alpha_n\)下的坐标是\(x_1, x_2, \cdots, x_n\)，在基底\(\boldsymbol \beta_1, \boldsymbol \beta_2, \cdots, \boldsymbol \beta_n\)下的坐标是\(y_1, y_2, \cdots, y_n\)，则\(\boldsymbol x = \boldsymbol {Cy}\)
  • 过渡矩阵\(\boldsymbol C\)是可逆矩阵。
  • 若过渡矩阵是一个正交矩阵，其中一个基底是规范正交基，则另一个也是规范正交基。