线代笔记 P02：矩阵

1 矩阵定义与计算

定义

• 方阵、零矩阵、单位阵（主对角线元素为 1，其余为 0）、对角阵（\(\boldsymbol\Lambda = \mathrm{diag}[a_1, a_2, \cdots ,a_n]\)）、上（下）三角阵；
• 对称阵（\(\boldsymbol A^T = \boldsymbol A\)）、反对称阵（\(\boldsymbol A^T = - \boldsymbol A\)）；
• 正交阵（\(\boldsymbol A^T \boldsymbol A = \boldsymbol A \boldsymbol A^T = \boldsymbol E\)）、初等矩阵（单位阵经一次初等变换得到的矩阵）；
• 伴随矩阵（由矩阵的行列式的所有代数余子式所构成的，下标行列互换的矩阵）；
• 奇异矩阵（\(|\boldsymbol A| = 0\)）

计算

• 加减：对应元素加减。
  • \(\boldsymbol A + \boldsymbol B = \boldsymbol B + \boldsymbol A\)
  • \((\boldsymbol A + \boldsymbol B) + \boldsymbol C = \boldsymbol A + (\boldsymbol B + \boldsymbol C)\)
• 数乘：每个元素都数乘。
  • \(k(m \boldsymbol A) = (km) \boldsymbol A = m(k \boldsymbol A)\)
  • \((k + m) \boldsymbol A = k \boldsymbol A + m \boldsymbol A\)
  • \(k(\boldsymbol A + \boldsymbol B) = k \boldsymbol A + k \boldsymbol B\)
• 乘法：前一个矩阵的行与后一个矩阵的列对应元素相乘再求和，作为结果矩阵该行该列的元素。
  • \((\boldsymbol A \boldsymbol B)\boldsymbol C = \boldsymbol A (\boldsymbol B \boldsymbol C)\)
  • \(\boldsymbol A (\boldsymbol B + \boldsymbol C) = \boldsymbol A \boldsymbol B + \boldsymbol A \boldsymbol C\)
  • \((\boldsymbol B + \boldsymbol C) \boldsymbol A = \boldsymbol B \boldsymbol A + \boldsymbol C \boldsymbol A\)
  • \(\boldsymbol A \boldsymbol B \neq \boldsymbol B \boldsymbol A\)
  • \(\boldsymbol A \boldsymbol B = \boldsymbol 0 \not \Rightarrow \boldsymbol A = 0 \ or \ \boldsymbol B = 0\)
  • \(\boldsymbol A \boldsymbol B = \boldsymbol A \boldsymbol C \ and \ \boldsymbol A \neq \boldsymbol 0 \not \Rightarrow \boldsymbol B = \boldsymbol C\)
• 方阵的幂
  • \((\boldsymbol A^k)^l = \boldsymbol A^{kl}\quad \boldsymbol A^k \boldsymbol A^l = \boldsymbol A^{k+l}\)
  • \((\boldsymbol{AB})^k = (\boldsymbol{AB})(\boldsymbol{AB}) \cdots (\boldsymbol{AB}) \neq \boldsymbol A^k \boldsymbol B^k\)
  • \((\boldsymbol A + \boldsymbol B)^2 = \boldsymbol A^2 + \boldsymbol{AB} + \boldsymbol{BA} + \boldsymbol B^2 \neq \boldsymbol A^2 + 2 \boldsymbol{AB} + \boldsymbol B^2\)
  • \((\boldsymbol A + \boldsymbol B)(\boldsymbol A - \boldsymbol B) = \boldsymbol A^2 - \boldsymbol {AB} + \boldsymbol{BA} - \boldsymbol B^2 \neq \boldsymbol A^2 - \boldsymbol B^2\)
  • \(\left[ \begin{matrix} a_1 & & \\ & a_2 & \\ & & a_3 \\ \end{matrix} \right]^n = \left[ \begin{matrix} a_1^n & & \\ & a_2^n & \\ & & a_3^n \\ \end{matrix} \right]\)
• 转置：沿主对角线互换位置。
  • \((\boldsymbol A + \boldsymbol B)^T = \boldsymbol A^T + \boldsymbol B^T\)
  • \((k\boldsymbol A)^T = k\boldsymbol A^T\)
  • \((\boldsymbol A \boldsymbol B)^T = \boldsymbol B^T \boldsymbol A^T\)
  • \((\boldsymbol A^T)^T = \boldsymbol A\)
  • 设 \(\alpha,\beta\)均为\(n\)为列向量，则(1) \(\alpha \beta^T, \beta \alpha^T\)为\(n\)维矩阵，且二者互为转置；(2) \(\alpha^T \beta, \beta^T \alpha\)为一个数，且 \(\alpha^T \beta = \beta^T \alpha =\)前面矩阵的主对角线元素之和；(3) \(|\alpha \beta^T| = |\beta \alpha^T| = 0\)。
• 伴随矩阵计算
  • \(\left[ \begin{matrix} a&b\\c&d\\ \end{matrix} \right]^* = \left[ \begin{matrix} d&-c\\-b&a \end{matrix} \right]\)
  • \(\boldsymbol A \boldsymbol A^* = \boldsymbol A^* \boldsymbol A = |\boldsymbol A| \boldsymbol E\)
  • \((\boldsymbol A^*)^{-1} = (\boldsymbol A^{-1})^* = \cfrac 1{|\boldsymbol A|} \boldsymbol A\)
  • \((\boldsymbol A^*)^T = (\boldsymbol A^T)^*\)
  • \((k \boldsymbol A)^* = k^{n-1} \boldsymbol A^*\)
  • \(|\boldsymbol A^*| = |\boldsymbol A|^{n-1} \quad (\boldsymbol A^*)^* = |\boldsymbol A|^{n-2} \boldsymbol A\)
  • \((\boldsymbol{AB})^* = \boldsymbol{B}^* \boldsymbol{A}^*\)

2 可逆矩阵

定义

\(\boldsymbol A \boldsymbol A^{-1} = \boldsymbol E\)，可逆矩阵也称为非奇异矩阵。

• 若\(\boldsymbol A\)可逆，则其逆矩阵必唯一。
• \(\boldsymbol A\)可逆\(\iff |\boldsymbol A| \neq 0\)

可逆的充分必要条件

• \(|\boldsymbol A| \neq 0\)
• \(r(\boldsymbol A) = n\)
• \(\boldsymbol A\)的行（列）向量线性无关。
• 齐次方程组\(\boldsymbol{Ax} = \boldsymbol 0\)只有零解。
• 非齐次方程组\(\boldsymbol{Ax} = \boldsymbol b\)总有唯一解。
• 矩阵\(\boldsymbol A\)的特征值全不为零。

性质

• \(k \neq 0, (k\boldsymbol A)^{-1} = \cfrac 1k \boldsymbol A^{-1}\)
• \((\boldsymbol{AB})^{-1} = \boldsymbol B^{-1} \boldsymbol A^{-1}\)
• \((\boldsymbol A^{-1})^{-1} = \boldsymbol A\)
• \((\boldsymbol A^2)^{-1} = (\boldsymbol A^{-1})^2\)
• \((\boldsymbol A^T)^{-1} = (\boldsymbol A^{-1})^T\)
• \(|\boldsymbol A^{-1}| = \cfrac 1{|\boldsymbol A|}\)
• \((\boldsymbol A + \boldsymbol B)^{-1} \neq \boldsymbol A^{-1} + \boldsymbol B^{-1}\)

求逆的方法

• \(\boldsymbol A^{-1} = \cfrac 1{|\boldsymbol A|} \boldsymbol A^*\)
• \((\boldsymbol A \mid \boldsymbol E) \longrightarrow (\boldsymbol E \mid \boldsymbol A^{-1})\)，使用初等行变换进行左侧的变形。
• 利用定义\(\boldsymbol A \boldsymbol A^{-1} = \boldsymbol E\)。
• \(\left[ \begin{matrix} \boldsymbol B & \boldsymbol O \\ \boldsymbol O & \boldsymbol C \\ \end{matrix} \right]^{-1} = \left[ \begin{matrix} \boldsymbol B^{-1} & \boldsymbol O \\ \boldsymbol O & \boldsymbol C^{-1} \\ \end{matrix} \right], \quad \left[ \begin{matrix} \boldsymbol O & \boldsymbol B \\ \boldsymbol C & \boldsymbol O \\ \end{matrix} \right]^{-1} = \left[ \begin{matrix} \boldsymbol O & \boldsymbol C^{-1} \\ \boldsymbol B^{-1} & \boldsymbol O \\ \end{matrix} \right]\)

3 初等变换

定义

• 有某个非零常数乘矩阵的某一行（或列）的每一个元素。

• 互换矩阵的某两行（或列）的位置。

• 将矩阵的某行（或列）元素的常数倍加到另一行（或列）。

• 初等矩阵：

  • \(\boldsymbol E_2(k) = \left[ \begin{matrix} 1&0&0 \\ 0&k&0 \\ 0&0&1\\ \end{matrix} \right]\)
  • \(\boldsymbol E_{12} = \left[ \begin{matrix} 0&1&0 \\ 1&0&0 \\ 0&0&1 \end{matrix} \right]\)
  • \(\boldsymbol E_{31}(k) = \left[ \begin{matrix} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ k&0&1 \\ \end{matrix} \right]\)

  初等矩阵左乘时对行作变换，右乘时对列作变换。

• 矩阵\(\boldsymbol A\)经过有限次初等变换变成矩阵\(\boldsymbol B\)，则\(\boldsymbol A\)等价于\(\boldsymbol B\)。

  （若存在可逆矩阵 \(\boldsymbol{P}, \boldsymbol{Q}\)，使\(\boldsymbol{PAQ} = \boldsymbol{B}\)，则\(\boldsymbol A\)等价于\(\boldsymbol B\)，记作\(\boldsymbol A \cong \boldsymbol B\)。）

性质

• 初等矩阵的转置仍是初等矩阵。
• 初等矩阵都是可逆矩阵，其逆矩阵仍是同一类型的矩阵。
• 任何可逆矩阵逆，都可以经过一系列初等变换化成单位阵，也就意味着可逆矩阵可以表示成有限个初等矩阵的乘积。

4 矩阵的秩

定义

非零子式的最高阶数，称为矩阵的秩。

性质

• \(r(\boldsymbol A) = 0 \iff \boldsymbol A = \boldsymbol O\)

  \(r(\boldsymbol A) \ge 1 \iff \boldsymbol A \neq \boldsymbol O\)

• 对于\(m \times n\)矩阵，\(r(\boldsymbol A) \le \min(m, n)\)

• 对于\(n\)阶方阵，\(r(\boldsymbol A) = n \iff \boldsymbol A\)可逆

• \(k \neq 0, r(k \boldsymbol A) = r(\boldsymbol A)\)

• \(r(\boldsymbol A^T) = r(\boldsymbol A), \quad r(\boldsymbol A^T \boldsymbol A) = r(\boldsymbol A)\)

• 若\(\boldsymbol A\)可逆，则\(r(\boldsymbol A \boldsymbol B) = r(\boldsymbol B), r(\boldsymbol B \boldsymbol A) = r(\boldsymbol B)\)

• \(r(\boldsymbol A + \boldsymbol B) \le r(\boldsymbol A) + r(\boldsymbol B)\)

• 若\(\boldsymbol A\)是\(m \times n\)矩阵，\(\boldsymbol B\)是\(n \times s\)矩阵，\(\boldsymbol A \boldsymbol B = \boldsymbol O\)，则\(r(\boldsymbol A) + r(\boldsymbol B) \le n\)

• \(\max\{r(\boldsymbol{A}), r(\boldsymbol{B})\} \le r(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}) \le r(\boldsymbol{A}) + r(\boldsymbol{B})\)

• \(r(\boldsymbol{AB}) \le \min\{r(\boldsymbol{A}), r(\boldsymbol{B})\}\)

• \(r(\boldsymbol{AB}) \ge r(\boldsymbol{A}) + r(\boldsymbol{B}) - n\)

• \(r \left(\begin {matrix} \boldsymbol A & \boldsymbol O \\ \boldsymbol O & \boldsymbol B \\ \end{matrix} \right) = r(\boldsymbol A) + r(\boldsymbol B)\)

5 分块矩阵

• \(\left[ \begin{matrix} \boldsymbol A & \boldsymbol B \\\boldsymbol C & \boldsymbol D \\ \end{matrix} \right]^T = \left[ \begin{matrix} \boldsymbol A^T & \boldsymbol C^T \\ \boldsymbol B^T & \boldsymbol D^T \end{matrix} \right]\)
• \(\left[ \begin{matrix} \boldsymbol B & \boldsymbol O \\ \boldsymbol O & \boldsymbol C \end{matrix} \right]^n = \left[ \begin{matrix} \boldsymbol B^n & \boldsymbol O \\ \boldsymbol O & \boldsymbol C^n \end{matrix} \right]\)
• \(\left[ \begin{matrix} \boldsymbol B & \boldsymbol O \\ \boldsymbol O & \boldsymbol C \end{matrix} \right]^{-1} = \left[ \begin{matrix} \boldsymbol B^{-1} & \boldsymbol O \\ \boldsymbol O & \boldsymbol C^{-1} \end{matrix} \right], \quad \left[ \begin{matrix} \boldsymbol O & \boldsymbol B \\ \boldsymbol C & \boldsymbol O \end{matrix} \right]^{-1} = \left[ \begin{matrix} \boldsymbol O & \boldsymbol C^{-1} \\ \boldsymbol B^{-1} & \boldsymbol O \end{matrix} \right]\\\)
• \(\boldsymbol A \boldsymbol B = \boldsymbol O\)，对\(\boldsymbol B, \boldsymbol O\)按列分块，\(\boldsymbol A \boldsymbol B = \boldsymbol A [\boldsymbol \beta_1, \boldsymbol \beta_2, \cdots, \boldsymbol \beta_s] = [\boldsymbol A \boldsymbol \beta_1, \boldsymbol A \boldsymbol \beta_2, \cdots, \boldsymbol A \boldsymbol \beta_s] = [\boldsymbol 0, \boldsymbol 0, \cdots, \boldsymbol 0]\)