线代笔记 P01：行列式

1 行列式的定义

• \(|\boldsymbol A|\)或者\(\mathrm{det} \boldsymbol A\)，其中\(\boldsymbol{A}\)为\(n\)阶方阵。

• \[\left| \begin{matrix} a_11 & a_12 & \cdots & a_1n \\ a_21 & a_22 & \cdots & a_2n \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_n1 & a_n2 & \cdots & a_nn \\ \end{matrix} \right| = \displaystyle \sum_{j_1 j_2 \cdots j_n} (-1)^{\tau(j_1 j_2 \cdots j_n)} a_{1 j_1} a_{2 j_2} \cdots a_{n j_n} \]

  其中\(\tau()\)为序列的逆序数。

2 行列式的性质与计算

性质

• 把某行（或列）的\(k\)倍加到另一行（或列），行列式的值不变。
• 某行（或列）有公因子\(k\)，则可以把\(k\)提到行列式记号外。
• \(\left| \begin{matrix} a_1 + b_1 & a_2 + b_2 & a_3 + b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \\ d_1 & d_2 & d_3 \\ \end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \\ d_1 & d_2 & d_3 \\ \end{matrix} \right| + \left| \begin{matrix} b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \\ d_1 & d_2 & d_3 \\ \end{matrix} \right|\)
• 两行（或列）对应成比例，行列式为零。
• 两行（或列）互换位置，行列式反号。
• \(|\boldsymbol A^T| = |\boldsymbol A|\) \(|\boldsymbol A^{-1}| = |\boldsymbol A|^{-1}\)
• \(|k \boldsymbol A| = k^n |\boldsymbol A|\)
• \(|\boldsymbol{AB}| = |\boldsymbol A||\boldsymbol B|\)
• \(\boldsymbol A^* \boldsymbol A = \boldsymbol A \boldsymbol A^* = |\boldsymbol A| \boldsymbol E \quad |\boldsymbol A^*| = |\boldsymbol A|^{n-1}\)
• \(|\boldsymbol A| = \displaystyle \prod_{i = 1}^n \lambda_i\)，其中\(\lambda_i\)为\(\boldsymbol A\)的特征值。
• \(\boldsymbol A \sim \boldsymbol B \implies |\boldsymbol A| = |\boldsymbol B|\)

计算

• \(|\boldsymbol A| = \displaystyle \sum_{k = 1}^n a_{ik} A_{ik} = \sum_{k = 1}^n a_{kj} A_{kj}\)，其中，\(A_{ik}, A_{kj}\)均为元素对应的代数余子式。（注意代数余子式的符号）

  任一行（或列）元素与另一行（或列）元素的代数余子式乘积之和为零。

• 求\(|\boldsymbol{A}|\)，可以增加一行构成\(\left| \begin{matrix} 1 & \boldsymbol * \\ 0 & \boldsymbol A \end{matrix} \right|\)，其中\(\boldsymbol{*}\)用于化简。

• 上（下）三角形行列式（左下或右上元素全为零）的值等于主对角线元素的乘积。

• 左上或者右下元素全为零的行列式用副对角线计算，为\((-1)^{\frac {n(n-1)}2} a_{1n} a_{2,n-1} \cdots a_{n1}\)。

• 拉普拉斯展开式：\(\left| \begin{matrix} \boldsymbol A & \boldsymbol * \\ \boldsymbol O & \boldsymbol B \end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix} \boldsymbol A & \boldsymbol O \\ \boldsymbol * & \boldsymbol B \end{matrix} \right| = |\boldsymbol A||\boldsymbol B|\)，\(\left| \begin{matrix} \boldsymbol O & \boldsymbol A \\ \boldsymbol B & \boldsymbol * \end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix} \boldsymbol * & \boldsymbol A \\ \boldsymbol B & \boldsymbol O \end{matrix} \right| = (-1)^{mn} |\boldsymbol A||\boldsymbol B|\)，其中\(m,n\)分别为两个对角上矩阵的阶。

• 范德蒙行列式：\(\left| \begin{matrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1} \end{matrix} \right| = \displaystyle \prod_{1 \le j \lt j \le n} (x_i - x_j)\)。（所有满足大下标减小下标的乘积）

结合后面的内容，有以下等价关系：

行列式\(|\boldsymbol A| = 0 \iff\)矩阵\(\boldsymbol A\)不可逆\(\iff\)秩\(r(\boldsymbol A) \lt n \iff \boldsymbol{Ax} = \boldsymbol 0\)有非零解\(\iff\)

0 是矩阵\(\boldsymbol A\)的特征值\(\iff \boldsymbol A\)的行（列）向量线性相关。