高数笔记 P08：无穷级数

1 定义

• 无穷级数：\(\displaystyle \sum_{n = 1}^\infty u_n = u_1 + u_2 + \cdots + u_n + \cdots\)
• 部分和数列\(\{ S_n\}\)，其中\(\displaystyle S_n = \sum_{ n= 1}^n u_n\)
• 无穷级数的和：\(\displaystyle S = \lim_{n \to \infty} S_n\)，若\(S\)存在，则无穷级数收敛；\(S\)不存在，则无穷级数发散。
• 余部\(r_n\)，若无穷级数收敛，\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} r_n = 0\)。
• 绝对收敛：\(\displaystyle \sum_{n = 1}^\infty |u_n|\)和\(\displaystyle \sum_{n = 1}^\infty u_n\)都收敛；条件收敛：\(\displaystyle \sum_{n = 1}^\infty u_n\)收敛，而\(\displaystyle \sum_{n = 1}^\infty |u_n|\)发散。

2 性质

• 若级数\(\displaystyle \sum_{n = 1}^\infty u_n\)收敛于和\(S\)，则级数\(\displaystyle \sum_{n = 1}^\infty ku_n\)收敛于和\(kS\)。
• 若级数\(\displaystyle \sum_{n = 1}^\infty u_n, \displaystyle \sum_{n = 1}^\infty v_n\)分别收敛于和\(S, \sigma\)，则级数\(\displaystyle \sum_{n = 1}^\infty (u_n \pm v_n)\)收敛于\(S \pm \sigma\)。
• 在级数中去掉、添加、改变有限项，级数的收敛性不变。
• 如果级数收敛，则对这个级数中的项任意添加括号形成的新级数仍收敛。
• 若级数\(\displaystyle \sum_{n = 1}^\infty u_n\)收敛，则其一般项趋向于零。\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} u_n = 0\).
• 绝对收敛的级数一定收敛。条件收敛的级数的所有正项（或负项）组成的级数一定发散。
• 补充：柯西审敛原理 级数\(\displaystyle \sum_{n = 1}^\infty u_n\)收敛的充要条件为对于任意给定的正数\(\varepsilon\)，总存在正整数\(N\)，使得当\(n \gt N\)时，对于任意的正整数\(p\)，都有\(|u_{n+1} + u_{n+2} + \cdots + u_{n+p}| \lt \varepsilon\)成立。
• 补充：设级数\(\displaystyle \sum_{n = 1}^\infty u_n, \sum_{n = 1}^\infty v_n\)都绝对收敛，其和分别是\(S, \sigma\)，则它们的柯西乘积 \(u_1 v_1 + (u_1 v_2 + u_2 v_1) + \cdots + (u_1 v_n + u_2 v_{n-1} + \cdots + u_n v_1) + \cdots\) 也绝对收敛，且其和为 \(S\sigma\)。

3 常数项级数

正项级数

• 正项级数\(\displaystyle \sum_{n = 1}^\infty u_n\)收敛的充要条件是它的部分和数列\(\{S_n\}\)有界。

• 比较审敛法：若\(0 \le u_n \le v_n\)，则\(\displaystyle \sum_{n = 1}^\infty v_n\)收敛，\(\implies \displaystyle \sum_{n = 1}^\infty u_n\)收敛；\(\displaystyle \sum_{n = 1}^\infty u_n\)发散，\(\implies \displaystyle \sum_{n = 1}^\infty v_n\)发散。

  设\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \cfrac {u_n}{v_n} = l \quad (0 \le l \le +\infty)\)，(1)\(0 \lt l \lt +\infty\)，两级数同敛散性；(2)\(l = 0\)，则\(\displaystyle \sum_{n = 1}^\infty v_n\)收敛，\(\implies \displaystyle \sum_{n = 1}^\infty u_n\)收敛；(3)\(l = +\infty\)，则\(\displaystyle \sum_{n = 1}^\infty u_n\)发散，\(\implies \displaystyle \sum_{n = 1}^\infty v_n\)发散。

• 比值审敛法：\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \cfrac {u_{n+1}}{u_n} = \rho\)，\(\rho \lt 1\)，收敛；\(\rho \gt 1\)，发散；\(\rho = 1\)，此方法失效。

• 根值审敛法：\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{u_n} = \rho\)，\(\rho \lt 1\)，收敛；\(\rho \gt 1\)，发散；\(\rho = 1\)，此方法失效。

• 极限审敛法：若\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} nu_m = l \gt 0\)，则级数发散；若\(p \gt 1\)且\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} n^p u_n = l \ \ (0 \le l \lt +\infty)\)，则级数收敛。

• 对数判别法：\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \cfrac {\ln {\cfrac 1{u_n}}}{\ln n} = p\)，\(p \gt 1\)，收敛；\(p \lt 1\)，发散；\(p = 1\)，此方法失效。

交错级数

莱布尼茨定理：如果级数\(\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} (-1)^{n-1} u_n\)满足：\(u_n \ge u_{n+1}\)，\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} u_n = 0\)，则级数收敛，且其和\(S \lt u_1\) 。

4 幂级数

概念：函数项级数、收敛点、和函数

定义

• 幂级数\(\displaystyle \sum_{n = 0}^\infty a_n x^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_n x^n + \cdots\)
• 若级数\(\displaystyle \sum_{n = 0}^\infty a_n x^n\)当\(x = x_0(x_0 \neq 0)\)时收敛，那么适合不等式\(|x| \lt |x_0|\)的一切\(x\)使这个幂级数绝对收敛。反之，若级数\(\displaystyle \sum_{n = 0}^\infty a_n x^n\)当\(x = x_0(x_0 \neq 0)\)时发散，那么适合不等式\(|x| \gt |x_0|\)的一切\(x\)使这个幂级数发散。
• 幂级数收敛的三种情况：
  • 仅在\(x = 0\)处收敛，\(x \neq 0\)时发散；
  • 对于\(x \in (-\infty, +\infty)\)都收敛且绝对收敛；
  • 对于\(x \in (-R, +R)\)时收敛且绝对收敛，之外的发散。\(R\)为收敛半径。
• 一个幂级数的收敛半径总存在，包含\(0, +\infty\)。
• 若\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left| \cfrac {a_{n+1}}{a_n} \right| = \rho\)，那么幂级数的收敛半径\(R = \begin{cases} \cfrac 1\rho & \rho \neq 0 \\ +\infty & \rho = 0 \\ 0 & \rho = +\infty \\ \end{cases}\)。
• 若\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| a_n \right|} = \rho\)，那么幂级数的收敛半径\(R = \begin{cases} \cfrac 1\rho & \rho \neq 0 \\ +\infty & \rho = 0 \\ 0 & \rho = +\infty \\ \end{cases}\)。

性质

• \(\displaystyle \sum_{n = 0}^\infty a_n x^n \pm \sum_{n = 0}^\infty b_n x^n = \sum_{n = 0}^\infty (a_n \pm b_n)x^n = S_1(x) \pm S_2(x) \quad x\in (-R, +R)\)
• \(\displaystyle (\sum_{n = 0}^\infty a_n x^n)(\sum_{n = 0}^\infty b_n x^n) = \sum_{n = 0}^\infty (a_0 b_n + a_1 b_{n - 1} + \cdots + a_n b_0)x^n = S_1(x) S_2(x) \quad x\in (-R, +R)\)
• \(\displaystyle \cfrac {S_1(x)}{S_2(x)} = \cfrac {\sum_{n = 0}^\infty a_n x^n}{\sum_{n = 0}^\infty b_n x^n} = c_0 + c_1 x + \cdots + c_n x^n + \cdots\)
• 和函数\(S(x)\)在收敛域上连续；
• 和函数\(S(x)\)在收敛域上可导，且可逐项求导，\(S'(x) = \displaystyle \sum_{n = 0}^\infty n a_n x^{n-1}\)；
• 和函数\(S(x)\)在收敛域上可积，且可逐项积分，\(\displaystyle \int_0^x S(x)dx = \sum_{n = 0}^\infty \int_0^x a_n x^n dx = \sum_{n = 0}^\infty \cfrac {a_n}{n+1} x^{n+1}\)。

函数展开成幂级数

• 泰勒级数：\(\displaystyle \sum_{n = 0}^\infty \cfrac {f^{(n)}(x_0)}{n!} (x - x_0)^n\)
• 麦克劳林级数：\(\displaystyle \sum_{n = 0}^n \cfrac {f^{(n)}(0)}{n!} x^n\)
• 泰勒级数的收敛定理：设\(f(x)\)在\(x = x_0\)处任意阶可导，则泰勒级数在\(|x - x_0| \lt R\)内收敛于\(f(x)\)的充要条件是\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} R_n(x) = 0\)，其中\(R_n(x) = \cfrac {f^{(n+1)}(x_0 + \theta (x - x_0))}{(n+1)!} (x - x_0)^{n+1}\)。
• 常用的麦克劳林公式
  • \(\cfrac 1{1-x} = 1 + x + x^2 + \cdots + x^n + \cdots \quad x \in (-1, 1)\)
  • \(\cfrac 1{1+x} = 1 - x + x^2 + \cdots + (-1)^n x^n + \cdots \quad x \in (-1, 1)\)
  • \(e^x = 1 + x + \cfrac {x^2}{2!} + \cdots + \cfrac {x^n}{n!} + \cdots \quad x \in (-\infty, +\infty)\)
  • \(\sin x = x - \cfrac {x^3}{3!} + \cdots + \cfrac {(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} + \cdots \quad x \in (-\infty, +\infty)\)
  • \(\cos x = 1 - \cfrac {x^2}{2!} + \cdots + \cfrac {(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} + \cdots \quad x \in (-\infty, +\infty)\)
  • \(\ln (1+x) = x - \cfrac {x^2}2 + \cdots + \cfrac {(-1)^{n-1} x^n}n + \cdots \quad x \in (-1. 1]\)
  • \((1+x)^\alpha = 1 + \alpha x + \cfrac {\alpha (\alpha -1)}{2!} x^2 + \cdots + \cfrac {\alpha (\alpha - 1)\cdots(\alpha - n + 1)}{n!} x^n + \cdots \quad x \in (-1,1)\)
• 应用：近似计算、解微分方程

5 三角级数

定义 三角函数系的正交性

• 三角级数：\(\cfrac {a_0}2 + \displaystyle \sum_{n = 1}^\infty (a_n \cos nx + b_n \sin nx)\)
• 正交是指在区间积分为零：
  • \(\displaystyle \int_{-\pi}^\pi \cos nx dx = 0, \int_{-\pi}^\pi \sin nx dx = 0, (n = 1, 2, 3, \cdots)\)
  • \(\displaystyle \int_{-\pi}^\pi \sin kx \cos nx dx = 0, (k,n = 1, 2, 3, \cdots)\)
  • \(\displaystyle \int_{-\pi}^\pi \cos kx \cos nx dx = 0, \int_{-\pi}^\pi \sin kx \sin nx dx = 0, (k, n = 1, 2, 3, \cdots ,k \neq n)\)

函数展开为傅里叶级数

• 傅里叶级数：\(\begin{cases} \displaystyle a_n = \cfrac 1\pi \int_{-\pi}^\pi f(x) \cos nx dx & n = 0, 1, 2, 3, \cdots \\ \displaystyle b_n = \cfrac 1\pi \int_{-\pi}^\pi f(x) \sin nx dx & n = 1, 2, 3, \cdots \\ \end{cases}\)称为\(f(x)\)的傅里叶级数。

  \(f(x) \sim \cfrac {a_0}2 + \displaystyle \sum_{n = 1}^\infty (a_n \cos nx + b_n \sin nx)\)

• 狄利克雷定理：设\(f(x)\)为周期为\(2\pi\)的周期函数，如果它满足：在一个周期内连续或者只有有限个第一类间断点，在一个周期内至多有有限个极值点，那么\(f(x)\)的傅里叶级数收敛。并且

  • 当\(x\)是连续点时，级数收敛于\(f(x)\)；
  • 当\(x\)是间断点时，级数收敛域\(\cfrac {f(x^-) + f(x^+)}2\)。

• 对于周期为\(2\pi\)的函数的傅里叶级数展开分两步进行：

  • 计算\(a_n, b_n\)；
  • 讨论收敛情况。

• 对于周期为\(2l\)的函数的傅里叶级数展开分两步进行：

  • 计算展开式：\(f(x) = \cfrac {a_0}2 + \displaystyle \sum_{n = 1}^\infty (a_n \cos \cfrac {n \pi x}l + b_n \sin \cfrac {n \pi x}l), (x \in C)\)，其中\(\begin{cases} \displaystyle a_n = \cfrac 1l \int_{-l}^l f(x) \cos \cfrac {n \pi x}l dx & n = 0, 1, 2, \cdots \\ \displaystyle b_n = \cfrac 1l \int_{-l}^l f(x) \sin \cfrac {n \pi x}l dx & n = 1, 2, 3, \cdots \\ C = \left\{ x \mid f(x) = \cfrac 12 [f(x^-) + f(x^+)] \right\} \\ \end{cases}\)
  • 讨论收敛情况。