高数笔记 P07：多元函数积分学
1 重积分
二重积分
- 定义：\(\displaystyle \iint_D f(x, y)d\sigma = \lim_{d \to 0} \sum_{k = 1}^n f(\xi_k , \eta_k) \Delta \sigma_k\)，其中\(d\)为小区域直径的最大值，\(\Delta \sigma_k\)为小区域的面积。
- 几何意义：为以\(D\)为底，\(z = f(x, y)\)为顶的曲面圆柱的体积。
- 性质：
- 比较定理：若在\(D\)上，\(f(x, y) \le g(x, y)\)，则\(\displaystyle \iint_D f(x, y) d\sigma \le \iint_D g(x, y) d\sigma\)
- 估值定理：\(M, m\)是连续函数\(f(x, y)\)在闭区域\(D\)上的最值，\(S\)为\(D\)的面积，则\(\displaystyle mS \le \iint_Df(x, y) d\sigma \le MS\)
- 中值定理：\(D\)上至少存在一点\((\xi, \eta)\)，使\(\displaystyle \iint_Df(x, y) d\sigma = f(\xi, \eta) \cdot S\)
- 计算
- 直角坐标系：\(\displaystyle \iint_D f(x, y) d\sigma = \int_a^b dx \int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)} f(x, y) dy = \int_c^d dy \int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)} f(x, y) dx\)
- 极坐标系：\(\displaystyle \iint_D f(x, y) d\sigma = \int_\alpha^\beta d\theta \int_{\rho_1(\theta)}^{\rho_2(\theta)} f(\rho \cos \theta, \rho \sin \theta) \rho d\rho\)
- 使用被积函数的奇偶性和对称性可以化简运算。
- 若积分域\(D\)关于\(y = x\)对称，则\(\displaystyle \iint_D f(x, y) d\sigma = \iint_D f(y, x) d\sigma\)。（轮换对称性）
三重积分
-
定义：设\(\mu = f(x, y, z)\)为空间体\(\Omega\)的体密度，积分\(\displaystyle \iiint_\Omega f(x, y, z) dV\)为空间体的质量。
-
性质与二重积分完全类似。
-
计算：
-
直角坐标系：$\displaystyle \iiint_\Omega f(x, y, z) dV = \iint_D dxdy \int_{z_1(x, y)}^{z_2(x, y)} f(x, y, z)dz = \int_a^b dz \iint_{D_z} f(x, y, z) dxdy $
-
柱坐标系：柱坐标系与直角坐标系的换算\(\begin{cases} x = r \cos \theta & 0 \le r \lt +\infty, 0 \le \theta \le 2\pi \\ y = r \sin \theta \\ z = z & -\infty \lt z \lt +\infty \\ \end{cases}, \quad dV = r dr d\theta dz\)
\[\displaystyle \iiint_\Omega f(x, y, z) dV = \iiint_\Omega f(r \cos \theta, r \sin \theta, z)r dr d\theta dz \]一般满足\(f(x, y, z) = \varphi (z) g(x^2 + y^2)\)的被积函数可以转化成上述计算。
-
球坐标系：球坐标系与直角坐标系的换算\(\begin{cases} x = r \sin \varphi \cos \theta \\ y = r \sin \varphi \sin \theta \\ z = r \cos \varphi \\ \end{cases} and \begin{cases} 0 \le r \lt +\infty \\ 0 \le \varphi \le \pi \\ 0 \le \theta \le 2\pi \\ \end{cases},\quad dV = r^2 \sin \varphi dr d\varphi d\theta\)
\[\displaystyle \iiint_\Omega f(x, y, z) = \iiint_\Omega f(r \sin \varphi \cos \theta, r \sin \varphi \sin \theta, r \cos \varphi) r^2 \sin \varphi dr d\varphi d\theta \]一般满足\(f(x, y, z) = \varphi(x^2 + y^2 + z^2)\)的被积函数可以转化成上述计算。
-
使用被积函数的奇偶性和对称性可以化简运算。
-
2 曲线积分
第一类线积分-对弧长的线积分
- 定义：\(\displaystyle \int_L f(x, y)ds = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i = 1}^n f(\xi_i, \eta_i) \Delta s_i\)，其中\(\lambda\)为小弧段的最大长度，\((\xi_i, \eta_i)\)为小弧段上的一点。此积分表示弧形的质量。
- 与积分的路径无关，\(\displaystyle \int_{L(\stackrel{ \Large \frown }{ AB })} f(x, y)ds = \int_{L(\stackrel{ \Large \frown }{ BA })} f(x, y)ds\)。
- 计算
- 曲线\(L: \begin{cases} x = x(t) \\ y= y(t) \\ \end{cases}\)，若\(f(x, y)\)在\(L\)上有定义，\(x(t), y(t)\)在\([\alpha, \beta]\)上有连续的一阶导数且\(x'^2(t) + y'^2(t) \neq 0\)，则曲线积分存在，\(\displaystyle \int_L f(x, y)ds = \int_\alpha^\beta f(x(t), y(t)) \sqrt{x'^2(t) + y'^2(t)} dt \quad (\alpha \lt \beta)\)。
- 将上述结论推广到直角坐标系，曲线为\(y = y(x)\)，则\(\displaystyle \int_L f(x, y)ds = \int_a^b f(x, y(x)) \sqrt{1 + y'^2(x)}dx \quad (a \lt b)\)。
- 将上述结论推广到极坐标系，曲线为\(\rho = \rho(\theta)\)，则\(\displaystyle \int_L f(x, y)ds = \int_\alpha^\beta f(\rho(\theta) \cos \theta, \rho(\theta) \sin \theta) \sqrt{\rho^2 + \rho'^2}d\theta\)。
- 利用积分曲线的对称性和被积函数的奇偶性、变量的对称性进行简化。
第二类线积分-对坐标的线积分
-
定义：
\(\displaystyle \int_L P(x, y)dx = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i = 1}^n P(\xi_i, \eta_i) \Delta x_i\)
\(\displaystyle \int_L Q(x, y)dy = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i = 1}^n Q(\xi_i, \eta_i) \Delta y_i\)
其中\(\lambda\)为小弧段的最大长度，\((\xi_i, \eta_i)\)为小弧段上的一点。
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与积分路径有关，\(\displaystyle \int_{L(\stackrel{ \Large \frown }{ AB })} Pdx+ Qdy = -\int_{L(\stackrel{ \Large \frown }{ BA })} Pdx + Qdy\)
-
计算
-
曲线\(L: \begin{cases} x = x(t) \\ y= y(t) \\ \end{cases}\)，若\(P(x, y), Q(x, y)\)在有向\(L\)上有定义且连续，\(x(t), y(t)\)在\([\alpha, \beta]\)上有连续的一阶导数且\(x'^2(t) + y'^2(t) \neq 0\)，则曲线积分存在，\(\displaystyle \int_L P(x, y)dx + Q(x, y)dy = \int_\alpha^\beta [P(x(t), y(t)) x'(t) + Q(x(t), y(t)) y'(t)] dt \quad (\alpha \lt \beta)\)。
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格林公式：设由光滑曲线\(L\)围成的闭区域\(D\)，函数\(P(x, y), Q(x, y)\)在\(D\)上有连续的一阶偏导数，曲线\(L\)为区域\(D\)的取正向的边界曲线，则\(\displaystyle \iint_D (\cfrac {\partial Q}{\partial x} - \cfrac {\partial P}{\partial y})dxdy = \oint_L Pdx + Qdy\)。
边界曲线取正向：当面向正向时区域总在自己的左手侧，一般外侧的边界时逆时针，内侧的边界时顺时针。
单连通区域是内部没有洞的区域，复连通区域时内部有洞的区域。复连通区域上使用格林公式时用外侧的曲线积分减去内侧的曲线积分即可。
-
对于不封闭的曲线，可以将其补全使用格林公式，再减去补线的部分。
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平面上曲线积分与路径无关的条件：设函数\(P(x, y), Q(x, y)\)在单连通区域\(G\)内有连续的一阶偏导数，则曲线积分\(\displaystyle \int_L Pdx + Qdy\) 与路径无关\(\iff \cfrac {\partial P}{\partial y} = \cfrac {\partial Q}{\partial x}\) 在\(G\)内恒成立\(\iff L\)为\(G\)中任一分段光滑闭曲线\(\iff\) 存在函数\(u(x, y)\)其全微分\(du = Pdx + Qdy\)。
(1)可以改换路径
(2)找到原函数\(u(x, y)\)，使得\(\displaystyle \int_{(A)}^{(B)} Pdx + Qdy = u(x_2, y_2) - u(x_1, y_1)\)
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斯托克斯公式\(\displaystyle \oint_\Gamma Pdx + Qdy + Rdz = \iint_\Sigma (\cfrac {\partial R}{\partial y} - \cfrac {\partial Q}{\partial z})dydz + \iint_\Sigma (\cfrac {\partial P}{\partial z} - \cfrac {\partial R}{\partial x})dzdx + \iint_\Sigma (\cfrac {\partial Q}{\partial x} - \cfrac {\partial P}{\partial y})dxdy\)
-
两类曲线积分的关系
\(\displaystyle \int_L Pdx + Qdy = \int_L (P \cos \alpha + Q \sin \beta)ds\)，其中，\(\cos \alpha, \cos \beta\)为曲线\(L\)的切线的方向余弦。
补充：曲线积分基本定理
设\(\boldsymbol F(x, y) = P(x, y) \boldsymbol i + Q(x, y) \boldsymbol j\)是平面区域\(G\)内的一个向量场，若\(P(x, y), Q(x, y)\)都在\(G\)内连续，且存在一个数量函数\(f(x, y)\)，使得\(\boldsymbol F = \nabla f\)，则曲线积分$\displaystyle \int_L \boldsymbol F \cdot d \boldsymbol r \(在\)G\(内与路径无关，且\)\displaystyle \int_L \boldsymbol F \cdot d \boldsymbol r = f(B) - f(A)\(。其中\)L\(时位于\)G\(内起点为\)A\(终点为\)B$的任一分段光滑曲线。
3 曲面积分
第一类曲面积分-对面积的曲面积分
- 定义：\(\displaystyle \iint_\Sigma f(x, y, z)dS = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i = 1}^n f(\xi_i, \eta_i, \zeta_i) \Delta S_i\)，其中\(\lambda\)为小块曲面的直径的最大值，\(S\)为小块曲面的面积，\((\xi_i, \eta_i, \zeta_i)\)为小块曲面的一点。此积分表示面密度的积分。
- 与所选则的曲面的哪一侧无关。
- 计算：
- 设曲面是由\(z = z(x, y)\)描述的，则\(\displaystyle \iint_\Sigma f(x, y, z)dS = \iint_D f(x, y, z(x, y)) \sqrt{1 + {z'_x}^2 + {z'_y}^2} dxdy\)
- 利用积分曲面的对称性和被积函数的奇偶性、变量的对称性进行简化。
第二类曲面积分-对坐标的曲面积分
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定义：
\(\displaystyle \iint_\Sigma P(x, y, z)dydz = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i = 1}^n P(\xi_i, \eta_i, \zeta_i)(\Delta S_i)_{yz}\)
\(\displaystyle \iint_\Sigma Q(x, y, z)dzdx = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i = 1}^n Q(\xi_i, \eta_i, \zeta_i)(\Delta S_i)_{zx}\)
\(\displaystyle \iint_\Sigma R(x, y, z)dxdy = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i = 1}^n R(\xi_i, \eta_i, \zeta_i)(\Delta S_i)_{xy}\)
其中\(\lambda\)为小块曲面的直径的最大值，\(S\)为小块曲面的面积，\((\xi_i, \eta_i, \zeta_i)\)为小块曲面的一点。
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有曲面的方向有关，相反侧的积分取反。
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计算：
-
曲面由\(x = x(y, z)\)描述，\(\displaystyle \iint_\Sigma P(x, y ,z) dydz = \pm \iint_D P(x(y, z), y, z) dydz\)。若有向曲面\(\Sigma\)的法向量与\(x\)轴正向的夹角为锐角，即右侧，上式取正，否则取负。
曲面由\(y = y(z, x)\)描述，\(\displaystyle \iint_\Sigma Q(x, y ,z) dzdx = \pm \iint_D Q(x, y(z, x), z) dzdx\)。若有向曲面\(\Sigma\)的法向量与$$轴正 y 向的夹角为锐角，即右侧，上式取正，否则取负。
曲面由\(z = z(x, y)\)描述，\(\displaystyle \iint_\Sigma (Rx, y ,z) dxdy = \pm \iint_D R(x, y, z(x, y)) dxdy\)。若有向曲面\(\Sigma\)的法向量与\(z\)轴正向的夹角为锐角，即右侧，上式取正，否则取负。
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高斯公式：设由分片光滑的闭曲面\(\Sigma\)所围成的空间闭区域\(\Omega\)，函数\(P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)\)在\(\Omega\)上有连续的一阶偏导数，\(\Sigma\)为\(\Omega\)的整个边界曲面的外侧，则\(\displaystyle \iiint_\Omega (\cfrac {\partial P}{\partial x} + \cfrac {\partial Q}{\partial y} + \cfrac {\partial R}{\partial z}) dv = \oint_\Sigma Pdydz + Qdzdx + Rdxdy\)
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对于空间区域不封闭，则可以用一块曲面使原来的空间区域封闭，积分时再减去这块补面上的积分即可。
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曲面积分\(\displaystyle \iint_\Sigma Pdydz + Qdzdx + Rdxdy\)与曲面\(\Sigma\)无关而只取决于它的边界曲线\(\iff \cfrac {\partial P}{\partial x} + \cfrac {\partial Q}{\partial y} + \cfrac {\partial R}{\partial z} = 0\)在二维单连通区域\(G\)内恒成立。
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两类曲面积分的关系
\(\displaystyle \iint_\Sigma Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = \iint_\Sigma (P \cos \alpha + Q \cos \beta + R \cos \gamma) dS\)，其中，\(\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma\)为曲面\(\Sigma\)在点\((x, y, z)\)处的法向量的方向余弦。
4 多元积分的应用
几何度量
- 平面面积：\(\displaystyle S = \iint_D dxdy\)
- 空间体体积：\(\displaystyle V = \iiint_\Omega dv\)
- 曲线长度：\(\displaystyle L = \int_C ds\)
- 曲面面积：\(\displaystyle S = \iint_\Sigma dS\)
质量
- 平面质量：\(\displaystyle m = \iint_D \rho(x, y)dxdy\)
- 空间体质量：\(\displaystyle m = \iiint_\Omega \rho(x, y ,z) dv\)
- 曲线质量：\(\displaystyle m = \int_C \rho(x, y,z)ds\)
- 曲面质量：\(\displaystyle m = \iint_\Sigma \rho(x, y, z)dS\)
质心
\(\displaystyle \overline x = \cfrac {\int x\rho}{\int \rho}, \displaystyle \overline y = \cfrac {\int y\rho}{\int \rho}\)，积分与上面的质量积分的公式相似
转动惯量
\(\displaystyle I_x = \int x^2 \rho, I_y = \int y^2 \rho\)，积分与上面质量积分的公式相似。
5 场论
梯度
- 沿方向\(l\)的方向导数：\(\displaystyle \left. \cfrac {\partial f}{\partial l} \right|_{(x_0, y_0)} = \lim_{t \to 0^+} \cfrac {f(x_0 + t \cos \alpha, y_0 + t \cos \beta) - f(x_0, y_0)}t\)。若函数\(f(x, y)\)在点\(P_0(x_0, y_0)\)处可微，那么函数在该点沿任意方向\(l\)的方向导数存在，且\(\displaystyle \left. \cfrac {\partial f}{\partial l} \right|_{(x_0, y_0)} = f_x'(x_0, y_0) \cos \alpha + f_y'(x_0, y_0) \cos \beta\)。\(\cos \alpha , \cos \beta\)是方向余弦。上公式可以类推到三元函数。
- 梯度定义：向量\(\boldsymbol{A}(x, y)\)指向的方向是\(u(x, y)\)在点\(P\)处的方向导数取最大值的方向，它的模\(|\boldsymbol{A}(x, y)|\)是此方向导数的最大值，则称\(\boldsymbol{A}(x, y)\)为函数\(u(x, y)\)在点\(P\)处的梯度，记作：\(\boldsymbol{grad} \left. u \right|_P = \boldsymbol{A}(x, y)\)或者\(\nabla \left. u \right|_p = \boldsymbol A(x, y)\)（Nabla 算子）。
- \(\boldsymbol{grad}u(x, y) = \cfrac {\partial u}{\partial x} \boldsymbol{i} + \cfrac {\partial u}{\partial y} \boldsymbol{j}, \quad \boldsymbol{grad}u(x, y, z) = \cfrac {\partial u}{\partial x} \boldsymbol{i} + \cfrac {\partial u}{\partial y} \boldsymbol{j} + \cfrac {\partial u}{\partial z} \boldsymbol{k}\)
- \(\boldsymbol{grad} \left. u \right|_P \cdot \boldsymbol{e}_l = \left. \cfrac {\partial u}{\partial l} \right|_P\)
通量
向量场\(\boldsymbol u(x, y, z) = P \boldsymbol i + Q \boldsymbol j + R \boldsymbol k\)，\(\Sigma\)为有向曲面，则向量场穿过曲面的指定侧的通量为\(\displaystyle \Phi = \iint_\Sigma \boldsymbol A \cdot d \boldsymbol S = \iint_\Sigma Pdydz + Qdzdx + Rdxdy\)
散度
向量场\(\boldsymbol u(x, y, z) = P \boldsymbol i + Q \boldsymbol j + R \boldsymbol k\)，其中\(P, Q, R\)均有连续的一阶偏导数，则\(\boldsymbol u\)在点\((x, y, z)\)处的散度为\(\mathrm{div} \boldsymbol u = \cfrac {\partial P}{\partial x} + \cfrac {\partial Q}{\partial y} + \cfrac {\partial R}{\partial z}\)
旋度
向量场\(\boldsymbol u(x, y, z) = P \boldsymbol i + Q \boldsymbol j + R \boldsymbol k\)，其中\(P, Q, R\)均有连续的一阶偏导数，则\(\boldsymbol u\)在点\((x, y, z)\)处的旋度为\(\boldsymbol{\mathrm{rot}} \boldsymbol u = \left| \begin{matrix} \boldsymbol i & \boldsymbol j & \boldsymbol k \\ \cfrac {\partial}{\partial x} & \cfrac {\partial }{\partial y} & \cfrac {\partial }{\partial z} \\ P & Q & R \\ \end{matrix} \right|\)
