高数笔记 P01：函数、极限、连续
1 函数
概念：定义域、值域、映射（函数是\(R\)下的映射）、邻域、去心邻域、分段函数、隐函数、反函数。
函数的基本特性：有界性、单调性、周期性、奇偶性、
基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。
取整函数 \(y = [x], \text{the max integer not more than }x\)
狄利克雷函数 \(D(x) = \begin{cases} 1&x\text{ is a rational number}\\0&x\text{ is a irrational number} \end{cases}\)
有界性
- \(f(x)\)在\([a,b]\)上连续，\(f(x)\)在\([a,b]\)上有界。
- \(f(x)\)在\((a,b)\)上连续，且\(\displaystyle \lim_{x \to a^+} f(x)\)和\(\displaystyle \lim_{x \to a^-} f(x)\)都存在，则\(f(x)\)在\([a,b]\)上有界。
- 有界函数和有界函数的和、积均为有界函数。
奇偶性质
- 奇函数与奇函数复合为奇函数
- 奇函数与偶函数复合为偶函数
- 偶函数与偶函数复合为偶函数
- \(f(x) = \frac12 [f(x) - f(-x)] + \frac12 [f(x) + f(-x)]\) （可以看作一个奇函数和一个偶函数的和）
2 极限
概念：无穷小、高阶无穷小（更小）、同阶无穷小、等价无穷小、无穷大、单侧极限
定义
- 数列的极限\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} x_n = a\): \(\forall \varepsilon \gt 0, \exists N \gt 0, \text{while} \ n \gt N, |x_n - a| \lt \varepsilon\).
- 函数的极限\(\displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x) = A\): \(\forall \varepsilon \gt 0, \exists \delta \gt 0, \text{while} \ 0 \lt |x - x_0| \lt \delta, |f(x) - A| \lt \varepsilon\).
性质
- 极限存在必唯一
- \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} x_n = a \iff \lim_{n \to \infty} x_{2n} = \lim_{n \to \infty} x_{2n-1} = a\)
- \(\displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x) = A \iff \lim_{x \to x_0^+} f(x) = \lim_{x \to x_0^-} f(x) = A\)
- 若\(\displaystyle \lim_{x \to \bullet} f(x) = A (\exists)\)，则\(f(x)\)在\(x \to \bullet\)过程中处处有定义。只要有一个点是无定义点，此极限就不存在。
- \(\displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x) = A \iff f(x) - A = a(x), \lim_{x \to x_0} a(x) = 0\)
- 假设\(f(x)\)单调减少（增加）且有下界（上界），则\(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)\)必存在。
- 局部保号性：假设\(\displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x) = A \neq 0\)，则存在\(x_0\)的一个去心邻域，在此邻域内\(f(x)\)与\(A\)同号。
- 局部有界性：假设\(\displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x) = A\)，则存在\(M \gt 0\)，当\(x \to x_0\)时，\(|f(x)| = M\).
计算
- 思路：优先提取能够计算出来的因子；对分式化成倒三角形；三角代换和倒代换
- 四则运算法则：同趋向下，可加减乘除、数乘。
- 有界函数与无穷小的乘积是无穷小。有限个无穷小的和、积均是无穷小。
- 几个重要的极限
- \(\displaystyle \lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac 1x} = e\)
- \(\displaystyle \lim_{x \to 0^+} x^\delta (\ln x)^k = 0, \ \delta \gt 0\)
- \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} x^k e^{-\delta x} = 0, \ \delta \gt 0\)
- \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]n = 1, \ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]a = 1, \ a \gt 0\)
- 利用等价无穷小进行替换乘除因子。以下常用的等价无穷小（\(x \to 0\)）
- \(\sin x \sim \arcsin x \sim x\) （注意 \(\sin x \lt x \lt \tan x\) ）
- \(\tan x \sim \arctan x \sim x\)
- \(1 - \cos x \sim \frac 12 x^2\)
- \(x - \sin x \sim \frac 16 x^3\)
- \((1 + x)^{ax} -1 \sim ax\)
- \(e^x - 1 \sim x, \ a^x - 1 \sim x \ln a\)
- \(\ln (1 + x) \sim x \rightarrow \ln U \sim U - 1(U \to 1)\)
- 洛必达法则，只有在计算后的极限存在才可用。
- 泰勒公式。
- \(\sin x = x - \frac 16 x^3 + \omicron (x^3)\)
- \(\arcsin x = x + \frac 16 x^3 + \omicron (x^3)\)
- \(\tan x = x + \frac 13 x^3 +\omicron (x^3)\)
- \(\arctan x = x - \frac 13 x^3 +\omicron (x^3)\)
- \(\cos x = 1 - \frac 12 x^2 + \frac 1{24} x^4 + \omicron (x^4)\)
- \((1 + x)^a = 1 + ax + \frac{a(a-1)}2 x^2 + \omicron (x^2)\)
- \(e^x = 1 + x + \frac 12 x^2 + \frac 16 x^3 + \omicron (x^3)\)
- \(\ln (1 + x) = x - \frac 12 x^2 + \frac 13 x^3 + \omicron (x^3)\)
- 归结原则：\(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = A \implies\lim_{n \to +\infty} f(n) = A\)
- 夹逼准则，除了下述的两条，还需灵活运用。
- 有限个项：\(1 \cdot U_{max} \le U_1 + U_2 + \cdots + U_n \le n\cdot U_{max}\)
- 无限个项：\(n \cdot U_{min} \le U_1 + U_2 + \cdots + U_n \le n\cdot U_{max}\)
- \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac 1n \sum_{i=1}^n f(\frac in) = \int_0^1f(x)dx\) （\(\frac in\)换成了\(x\)）
计算极限时常见的形式
- \(\cfrac 00, \cfrac {\infty}{\infty}, 0 \cdot \infty\)：化成倒三角形；根号差有理化；洛必达法则。
- \(\infty - \infty\)：同分成一个分式在处理。
- \(\infty^0, 0^0\)：使用\(\lim u^v = e^{\lim v \ln u}\)处理。
- \(1^\infty\)：使用\(\lim u^v = e^{\lim (u-1)v}\)处理。
3 连续
定义
满足\(\displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)\)
性质
连续函数的和差积商仍为连续函数。
\(f(x)\)在\([a,b]\)上连续，则：
- \(f(x)\)在\([a,b]\)上有界
- \(f(x)\)在\([a,b]\)上有最大值、最小值
- \(m \le \mu \le M\)，则至少存在一点\(\xi \in [a,b]\)，使\(f(\xi) = \mu\)
- \(f(a)f(b) \lt 0\)，则至少存在一点\(\xi \in [a,b]\)，使\(f(\xi) = 0\)
间断
不满足\(\displaystyle \underbrace {\lim_{x \to x_0^+} f(x)}_a = \underbrace{\lim_{x \to x_0^-} f(x)}_b = \underbrace{f(x_0)}_c\)，这些点出现在无定义点、分段函数的分段点。
- \(a \neq b\): 跳跃间断点
- \(a = b \neq c\): 可去间断点
- \(a = \infty \ or \ b = \infty\): 无穷间断点
- \(a \ or \ b\)振荡: 振荡间断点
1、2 为第一类间断点，3、4 为第二类间断点。
