3.状态依赖推导,找规律
343. 整数拆分
给定一个正整数 n,将其拆分为至少两个正整数的和,并使这些整数的乘积最大化。 返回你可以获得的最大乘积。
示例 1: 输入: 2 输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1。
示例 2: 输入: 10 输出: 36 解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36。 说明: 你可以假设 n 不小于 2 且不大于 58。
思路
看到这道题目,都会想拆成两个呢,还是三个呢,还是四个....
我们来看一下如何使用动规来解决。
动态规划
动规五部曲,分析如下:
- 确定dp数组(dp table)以及下标的含义
dp[i]:分拆数字i,可以得到的最大乘积为dp[i]。
- 确定递推公式
可以想 dp[i]最大乘积是怎么得到的呢?
其实可以从1遍历j,然后有两种渠道得到dp[i].
一个是j * (i - j) 直接相乘。-->拆分成两个
一个是j * dp[i - j],相当于是拆分(i - j)-->拆分成三个和三个以上
j怎么就不拆分呢?
j是从1开始遍历,拆分j的情况,在遍历j的过程中其实都计算过了。那么从1遍历j,比较(i - j) * j和dp[i - j] * j 取最大的。
递推公式:dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
那么在取最大值的时候,为什么还要比较dp[i]呢?
因为在递推公式推导的过程中,每次计算dp[i],取最大的而已。
- dp的初始化
dp[0] dp[1] 就不应该初始化,也就是没有意义的数值。
拆分0和拆分1的最大乘积是多少?这是无解的。
这里我只初始化dp[2] = 1,从dp[i]的定义来说,拆分数字2,得到的最大乘积是1,这个没有任何异议!
- 确定遍历顺序
确定遍历顺序,先来看看递归公式:dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
dp[i] 是依靠 dp[i - j]的状态,所以遍历i一定是从前向后遍历,先有dp[i - j]再有dp[i]。
枚举j的时候,是从1开始的。i是从3开始,这样dp[i - j]就是dp[2]正好可以通过我们初始化的数值求出来。
所以遍历顺序为:
for (int i = 3; i <= n ; i++) { for (int j = 1; j < i - 1; j++) { dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j)); } }
- 举例推导dp数组
举例当n为10 的时候,dp数组里的数值,如下:
public int integerBreak(int n) { //dp[i]为正整数i拆分结果的最大乘积 int[] dp = new int[n+1]; dp[2] = 1; for (int i = 3; i <= n; ++i) { for (int j = 1; j < i - 1; ++j) { //j*(i-j)代表把i拆分为j和i-j两个数相乘 //j*dp[i-j]代表把i拆分成j和继续把(i-j)这个数拆分,取(i-j)拆分结果中的最大乘积与j相乘 dp[i] = Math.max(dp[i], Math.max(j * (i - j), j * dp[i - j])); } } return dp[n]; }
本题也可以用贪心,每次拆成n个3,如果剩下是4,则保留4,然后相乘,但是这个结论需要数学证明其合理性!
public int integerBreak(int n) { if (n == 2) return 1; if (n == 3) return 2; if (n == 4) return 4; int result = 1; while (n > 4) { result *= 3; n -= 3; } result *= n; return result; }
96.不同的二叉搜索树
给定一个整数 n,求以 1 ... n 为节点组成的二叉搜索树有多少种?
示例:
思路
这得怎么统计呢?
了解了二叉搜索树之后,我们应该先举几个例子,画画图,看看有没有什么规律,如图:
n为1的时候有一棵树,n为2有两棵树,这个是很直观的。
dp[3],就是 元素1为头结点搜索树的数量 + 元素2为头结点搜索树的数量 + 元素3为头结点搜索树的数量
dp[i] += dp[以j为头结点左子树节点数量] * dp[以j为头结点右子树节点数量]
对于节点i来说,那么 1....i-1是左节点(左孩子的数量=i-1),i+1....n是右节点(右孩子的数量=n-i)
此时我们已经找到的递推关系了,那么可以用动规五部曲在系统分析一遍。
- 确定dp数组(dp table)以及下标的含义
dp[i] : 1到i为节点组成的二叉搜索树的个数为dp[i]。
- 确定递推公式
在上面的分析中,其实已经看出其递推关系, dp[i] += dp[以j为头结点左子树节点数量] * dp[以j为头结点右子树节点数量]
j相当于是头结点的元素,从1遍历到i为止。
所以递推公式:dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]; ,j-1 为j为头结点左子树节点数量,i-j 为以j为头结点右子树节点数量
- dp数组如何初始化
空节点也是一颗二叉树dp[0] = 1
- 确定遍历顺序
for (int i = 1; i <= n; i++) { for (int j = 1; j <= i; j++) { dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]; } }
- 举例推导dp数组
n为5时候的dp数组状态如图:
public int numTrees(int n) { //初始化 dp 数组 int[] dp = new int[n + 1]; //初始化0个节点和1个节点的情况 dp[0] = 1; dp[1] = 1; for (int i = 2; i <= n; i++) { for (int j = 1; j <= i; j++) { //对于第i个节点,需要考虑1作为根节点直到i作为根节点的情况,所以需要累加 //一共i个节点,对于根节点j时,左子树的节点个数为j-1,右子树的节点个数为i-j dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]; } } return dp[n]; }