【BZOJ】3993: [SDOI2015]星际战争

题意

\(m\)个人\(n\)个物品，第\(i\)个物品生命值为\(A_i\)，第\(i\)个人每秒可以减少一个物品\(B_i\)的生命值，给出一个\(m \times n\)的矩阵，如果\(i\)行\(j\)列为\(1\)，则表示第\(i\)个人可以攻击第\(j\)个物品，否则不能攻击，问至少需要多少秒，能干掉所有物品。一个物品被干掉当且仅当生命值小于等于\(0\)。（\(n, m \le 50, 1 \le A_i \le 10^5, 1 \le B_i \le 10^3\) ）

分析

我们可以二分时间，然后判定。首先我们能列出一些约束，然后发现可以用上下界可行流来做。

题解

二分时间\(t\)，令\(C(i, j)\)表示第\(i\)个人减少了\(j\)物品的血量，容易列出：

\[\sum_{j} C(i, j) \le t \times B_i \]

\[\sum_{i} C(i, j) \ge A_j \]

然后裸上上下界可行流即可。
（即使有\(2500\)个点....

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long double lf;
const lf eps=1e-5, oo=1e150;
const int N=55, M=55, nN=3005, nM=nN*8;
inline int dcmp(lf a) {
	return a>-eps?a>=eps:-1;
}
int ihead[nN], cnt, A[N], B[M], ed[M][N], n, m;
struct E {
	int next, from, to;
	lf cap;
}e[nM];
void add(int x, int y, lf cap) {
	e[++cnt]=(E){ihead[x], x, y, cap}; ihead[x]=cnt;
	e[++cnt]=(E){ihead[y], y, x, 0  }; ihead[y]=cnt;
}
lf isap(int s, int t, int n) {
	static int gap[nN], cur[nN], d[nN], p[nN];
	memset(gap, 0, sizeof(int)*(n+1));
	memset(d,	0, sizeof(int)*(n+1));
	memcpy(cur, ihead, sizeof(int)*(n+1));
	gap[0]=n;
	lf ret=0, f;
	for(int i, x=s; d[s]<n; ) {
		for(i=cur[x]; i; i=e[i].next) if(dcmp(e[i].cap)>0 && d[x]==d[e[i].to]+1) break;
		if(i) {
			p[e[i].to]=cur[x]=i; x=e[i].to;
			if(x==t) {
				for(f=oo; x!=s; x=e[p[x]].from) f=min(f, e[p[x]].cap);
				for(x=t;  x!=s; x=e[p[x]].from) e[p[x]].cap-=f, e[p[x]^1].cap+=f;
				ret+=f;
			}
		}
		else {
			if(!--gap[d[x]]) break;
			d[x]=n;
			cur[x]=ihead[x];
			for(i=cur[x]; i; i=e[i].next) if(dcmp(e[i].cap)>0 && d[x]>d[e[i].to]+1) d[x]=d[e[i].to]+1;
			++gap[d[x]];
			if(x!=s) x=e[p[x]].from;
		}
	}
	return ret;
}
bool check(lf R) {
	int in=0, all=n*m+n+m+2+2, s=n*m+n+m+1, t=s+1, S=t+1, T=S+1;
	memset(ihead, 0, sizeof(int)*(all+1));
	cnt=1;
	for(int i=1; i<=m; ++i) {
		int idi=n*m+i;
		add(s, idi, R*B[i]);
		for(int j=1; j<=n; ++j) {
			int idj=n*m+m+j;
			int id=(i-1)*n+j;
			add(idi, id, oo);
			if(ed[i][j]) {
				add(id, idj, oo);
			}
		}
	}
	for(int i=1; i<=n; ++i) {
		int id=n*m+m+i;
		add(id, T, A[i]);
		in+=A[i];
	}
	add(S, t, in);
	add(t, s, oo);
	lf sum=isap(S, T, all);
	if(dcmp(sum-in)!=0) {
		return 0;
	}
	return 1;
}
int main() {
	scanf("%d%d", &n, &m);
	for(int i=1; i<=n; ++i) {
		scanf("%d", &A[i]);
	}
	for(int i=1; i<=m; ++i) {
		scanf("%d", &B[i]);
	}
	for(int i=1; i<=m; ++i) {
		for(int j=1; j<=n; ++j) {
			scanf("%d", &ed[i][j]);
		}
	}
	lf l=0, r=1e6;
	while(dcmp(r-l)>0) {
		lf mid=(l+r)/2;
		if(check(mid)) {
			r=mid;
		}
		else {
			l=mid;
		}
	}
	printf("%.9Lf\n", r);
	return 0;
}