【BZOJ】3240: [Noi2013]矩阵游戏

题意

给出\(n, m(1 \le n, m \le 10^{1000000})\)，求\(f(n, m) \ \mod \ 10^9+7\)

$$ \begin{cases} f(1, 1) = 1 \\ f(i, 1) = cf(i-1, m) + d \\ f(i, j) = af(i, j-1) + b & (j \neq 1) \end{cases} $$

其中\(1 \le a, b, c, d \le 10^9\)

分析

对于递推式\(f_i = af_{i-1} + b\)
当\(a=1\)时通项为\(f_n = f_1 + (n-1) b\)
当\(a \neq 1\)时通项为\(f_n = a^{n-1} f_1 + \frac{b(a^{n-1} - 1)}{a-1}\)
那么根据上式可以求出对应的系数

\[f(i, m) = xf(i, 1) + y \]

然后又得到

\[f(i, 1) = c(xf(i-1, 1) + y)+d = cxf(i-1, 1) + cy + d \]

就可以推出\(f(n, 1)\)，最后再逆推回\(f(n, m)\)即可。

题解

快速幂部分，可以根据欧拉定理\(a^{\varphi(p)} \equiv 1 \pmod{p}, (a, p)=1\)可以知道\(a^{10^9+6} \equiv 1 \pmod{10^9+7}\)
所以我们可以在读入的时候就对\(n, m\)模\(10^9+6\)然后再快速幂。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mo=1e9+7;
int ipow(int a, int b) {
	if(a>=mo) {
		a%=mo;
	}
	int x=1;
	for(; b; b>>=1, a=(ll)a*a%mo) {
		if(b&1) {
			x=(ll)x*a%mo;
		}
	}
	return x;
}
void getint(int &n, int &nn) {
	char c=getchar();
	n=nn=0;
	for(; c<'0'||c>'9'; c=getchar());
	for(; c>='0'&&c<='9'; c=getchar()) {
		n=((ll)n*10+c-'0')%mo;
		nn=((ll)nn*10+c-'0')%(mo-1);
	}
}
int main() {
	int n, m, nn, mm, a, b, c, d, ans;
	getint(n, nn);
	getint(m, mm);
	scanf("%d%d%d%d", &a, &b, &c, &d);
	int k, j;
	if(a==1) {
		k=c;
		j=((ll)c*(m-1+mo)%mo*b%mo+d)%mo;
	}
	else {
		int p=ipow(a, mm-1+(mo-1));
		k=(ll)c*p%mo;
		j=((ll)b*c%mo*(1-p+mo)%mo*ipow(1-a+mo, mo-2)%mo+d)%mo;
	}
	if(k==1) {
		ans=((ll)n*j%mo+1)%mo;
	}
	else {
		int p=ipow(k, nn);
		ans=((ll)j*ipow(1-k+mo, mo-2)%mo*(1-p+mo)%mo+p)%mo;
	}
	ans=(ans-d+mo)%mo;
	ans=(ll)ans*ipow(c, mo-2)%mo;
	printf("%d\n", ans);
	return 0;
}