【ZOJ】3329 One Person Game
http://acm.zju.edu.cn/onlinejudge/showProblem.do?problemId=3754
题意:有三个色子,分别有k1、k2、k3个面,权值分别是1~k1, 1~k2, 1~k3,等概率朝上。如果朝上的面分别为a、b、c,则分数置0,否则累加权值和。当权值和>n时则结束,求期望次数。T组数据。(T<=300; 1<k1,k2,k3<=6)
#include <cstdio> #include <cstring> using namespace std; const int N=805; double A[N], C[N]; int n, p[500], k1, k2, k3, a, b, c; int main() { int T, all, del; scanf("%d", &T); while(T--) { scanf("%d%d%d%d%d%d%d", &n, &k1, &k2, &k3, &a, &b, &c); all=0; del=a+b+c; for(int i=1; i<=k1; ++i) for(int j=1; j<=k2; ++j) for(int k=1; k<=k3; ++k) p[++all]=i+j+k; for(int i=n; i>=0; --i) { for(int j=1; j<=all; ++j) A[i]+=A[i+p[j]]; A[i]-=A[i+del]-1; A[i]/=all; for(int j=1; j<=all; ++j) C[i]+=C[i+p[j]]; C[i]-=C[i+del]; C[i]/=all; C[i]+=1; } printf("%.15f\n", C[0]/(1-A[0])); memset(A, 0, sizeof(double)*(n+1)); memset(C, 0, sizeof(double)*(n+1)); } return 0; } /* A[i]=(\sum_{j} A[j] - A[i+a+b+c] + 1)/(k1*k2*k3) C[i]=(\sum_{j} C[j] - C[i+a+b+c])/(k1*k2*k3) + 1 */
设$d[i]$表示当前分数为$i$时到游戏结束的期望次数。容易推得公式:
$$d[i]=(\sum_{j} d[j]-d[i+a+b+c]+d[0])/(k1*k2*k3)+1, j是转移到的状态$$
发现每一个都有一个循环的$d[0]$,那么我们可以将每一个状态表示为关于$d[0]$的方程的(在这里我是sb了没想到)
(如果不只是$d[0]$一个的话,那么最好用高斯消元)
所以我们只需要推系数即可!设$d[i]=A[i]d[0]+C[i]$
首先
$$
\begin{align}
& \sum_{j} d[j] - d[i+a+b+c] \\
=& \sum_{j} (A[j]d[0]+C[j]) - d[i+a+b+c] \\
=& \sum_{j} A[j]d[0] + \sum_{j} C[j] - A[i+a+b+c]d[0]-C[i+a+b+c]
\end{align}
$$
所以
$$d[i]=(d[0]\sum_{j} A[j] + \sum_{j} C[j] - A[i+a+b+c]d[0]-C[i+a+b+c] + d[0])/(k1*k2*k3)+1$$
所以
$$
\begin{align}
A[i] = & (\sum_{j} A[j] - A[i+a+b+c] + 1)/(k1*k2*k3)\\
C[i] = & (\sum_{j} C[j] - C[i+a+b+c])/(k1*k2*k3) + 1
\end{align}
$$
最后答案是$d[0]=C[0]/(1-A[0])$