【BZOJ】1061: [Noi2008]志愿者招募(费用流+数学)
http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1061
好神的一题!
学会了一种建模方式:
当方程组内的任意变量都在其中两个方程出现且一正一负,可以建立网络模型(按方程的数目为节点),原理就是流量守恒,其中方程的常数可以就是限制方程成立的容量(即最大流可以满足方程),按符号向源和汇连边即可。
orz
具体的详细数学建模看blog:https://www.byvoid.com/zhs/blog/noi-2008-employee/
然后建图就是:
- 对于每个人[l, r],点l向r+1连边容量为oo,费用为v
- 每个点对-1连边容量为oo,费用为0(点2到n+1)
- 方程右边减去上个方程如果是负那么向汇点连边,否则源点连边,容量为c
(防链崩我复制一下。。)
这道题正确的解法是构造网络,求网络最小费用最大流,但是模型隐藏得较深,不易想到。构造网络是该题的关键,以下面一个例子说明构图的方法和解释。
例如一共需要4天,四天需要的人数依次是4,2,5,3。有5类志愿者,如下表所示:
种类 1 2 3 4 5 时间 1-2 1-1 2-3 3-3 3-4 费用 3 4 3 5 6 设雇佣第i类志愿者的人数为X[i],每个志愿者的费用为V[i],第j天雇佣的人数为P[j],则每天的雇佣人数应满足一个不等式,如上表所述,可以列出
P[1] = X[1] + X[2] >= 4
P[2] = X[1] + X[3] >= 2
P[3] = X[3] + X[4] +X[5] >= 5
P[4] = X[5] >= 3
对于第i个不等式,添加辅助变量Y[i] (Y[i]>=0) ,可以使其变为等式
P[1] = X[1] + X[2] - Y[1] = 4
P[2] = X[1] + X[3] - Y[2] = 2
P[3] = X[3] + X[4] +X[5] - Y[3] = 5
P[4] = X[5] - Y[4] = 3
在上述四个等式上下添加P[0]=0,P[5]=0,每次用下边的式子减去上边的式子,得出
① P[1] - P[0] = X[1] + X[2] - Y[1] = 4
② P[2] - P[1] = X[3] - X[2] -Y[2] +Y[1] = -2
③ P[3] - P[2] = X[4] + X[5] - X[1] - Y[3] + Y[2] =3
④ P[4] - P[3] = - X[3] - X[4] + Y[3] - Y[4] = -2
⑤ P[5] - P[4] = - X[5] + Y[4] = -3
观察发现,每个变量都在两个式子中出现了,而且一次为正,一次为负。所有等式右边和为0。接下来,根据上面五个等式构图。
- 每个等式为图中一个顶点,添加源点S和汇点T。
- 如果一个等式右边为非负整数c,从源点S向该等式对应的顶点连接一条容量为c,权值为0的有向边;如果一个等式右边为负整数c,从该等式对应的顶点向汇点T连接一条容量为c,权值为0的有向边。
- 如果一个变量X[i]在第j个等式中出现为X[i],在第k个等式中出现为-X[i],从顶点j向顶点k连接一条容量为∞,权值为V[i]的有向边。
- 如果一个变量Y[i]在第j个等式中出现为Y[i],在第k个等式中出现为-Y[i],从顶点j向顶点k连接一条容量为∞,权值为0的有向边。
构图以后,求从源点S到汇点T的最小费用最大流,费用值就是结果。
根据上面的例子可以构造出如下网络,红色的边为每个变量X代表的边,蓝色的边为每个变量Y代表的边,边的容量和权值标已经标出(蓝色没有标记,因为都是容量∞,权值0)。
在这个图中求最小费用最大流,流量网络如下图,每个红色边的流量就是对应的变量X的值。
所以,答案为43+23+3*6=36。
上面的方法很神奇得求出了结果,思考为什么这样构图。我们将最后的五个等式进一步变形,得出以下结果
① - X[1] - X[2] + Y[1] + 4 = 0
② - X[3] + X[2] + Y[2] - Y[1] - 2 = 0
③ - X[4] - X[5] + X[1] + Y[3] - Y[2] + 3 = 0
④ X[3] + X[4] - Y[3] + Y[4] - 2 = 0
⑤ X[5] - Y[4] - 3 = 0
可以发现,每个等式左边都是几个变量和一个常数相加减,右边都为0,恰好就像网络流中除了源点和汇点的顶点都满足流量平衡。每个正的变量相当于流入该顶点的流量,负的变量相当于流出该顶点的流量,而正常数可以看作来自附加源点的流量,负的常数是流向附加汇点的流量。因此可以据此构造网络,求出从附加源到附加汇的网络最大流,即可满足所有等式。而我们还要求最小,所以要在X变量相对应的边上加上权值,然后求最小费用最大流。
然后跑一次裸的spfa费用流可水过,zkw费用流好神,有待学习orz
#include <cstdio> #include <cstring> #include <cmath> #include <string> #include <iostream> #include <algorithm> #include <queue> #include <set> #include <map> using namespace std; typedef long long ll; #define pii pair<int, int> #define mkpii make_pair<int, int> #define pdi pair<double, int> #define mkpdi make_pair<double, int> #define pli pair<ll, int> #define mkpli make_pair<ll, int> #define rep(i, n) for(int i=0; i<(n); ++i) #define for1(i,a,n) for(int i=(a);i<=(n);++i) #define for2(i,a,n) for(int i=(a);i<(n);++i) #define for3(i,a,n) for(int i=(a);i>=(n);--i) #define for4(i,a,n) for(int i=(a);i>(n);--i) #define CC(i,a) memset(i,a,sizeof(i)) #define read(a) a=getint() #define print(a) printf("%d", a) #define dbg(x) cout << (#x) << " = " << (x) << endl #define error(x) (!(x)?puts("error"):0) #define printarr2(a, b, c) for1(_, 1, b) { for1(__, 1, c) cout << a[_][__]; cout << endl; } #define printarr1(a, b) for1(_, 1, b) cout << a[_] << '\t'; cout << endl inline const int getint() { int r=0, k=1; char c=getchar(); for(; c<'0'||c>'9'; c=getchar()) if(c=='-') k=-1; for(; c>='0'&&c<='9'; c=getchar()) r=r*10+c-'0'; return k*r; } inline const int max(const int &a, const int &b) { return a>b?a:b; } inline const int min(const int &a, const int &b) { return a<b?a:b; } const int N=1005, M=100005, oo=~0u>>2; int ihead[N], cnt=1, n, m, p[N], x[N], d[N], vis[N], q[N+N], front, tail; struct dat { int next, from, to, cap, w; }e[M]; void add(int u, int v, int c, int w) { e[++cnt].next=ihead[u]; ihead[u]=cnt; e[cnt].to=v; e[cnt].from=u; e[cnt].cap=c; e[cnt].w=w; e[++cnt].next=ihead[v]; ihead[v]=cnt; e[cnt].to=u; e[cnt].from=v; e[cnt].cap=0; e[cnt].w=-w; } bool spfa(int s, int t) { for1(i, s, t) d[i]=oo, vis[i]=0; front=tail=0; q[tail++]=s; d[s]=0; vis[s]=1; while(front!=tail) { int u=q[front++], v; if(front==N) front=0; vis[u]=0; for(int i=ihead[u]; i; i=e[i].next) if(e[i].cap && d[v=e[i].to]>d[u]+e[i].w) { d[v]=d[u]+e[i].w; p[v]=i; if(!vis[v]) { vis[v]=1; q[tail++]=v; if(tail==N) tail=0; } } } return d[t]!=oo; } int mincost(int s, int t) { int ret=0; while(spfa(s, t)) { int u, f=oo; for(u=t; u!=s; u=e[p[u]].from) f=min(f, e[p[u]].cap); for(u=t; u!=s; u=e[p[u]].from) e[p[u]].cap-=f, e[p[u]^1].cap+=f; ret+=d[t]*f; } return ret; } int main() { read(n); read(m); for1(i, 1, n) read(x[i]); int s=0, t=n+2; for1(i, 2, n+1) add(i, i-1, oo, 0); for1(i, 1, m) { int l=getint(), r=getint(), c=getint(); add(l, r+1, oo, c); } for1(i, 1, n+1) { int c=x[i]-x[i-1]; if(c>0) add(s, i, c, 0); if(c<0) add(i, t, -c, 0); } printf("%d\n", mincost(s, t)); return 0; }
Description
申奥成功后,布布经过不懈努力,终于成为奥组委下属公司人力资源部门的主管。布布刚上任就遇到了一个难题:为即将启动的奥运新项目招募一批短期志愿者。经过估算,这个项目需要N 天才能完成,其中第i 天至少需要Ai 个人。 布布通过了解得知,一共有M 类志愿者可以招募。其中第i 类可以从第Si 天工作到第Ti 天,招募费用是每人Ci 元。新官上任三把火,为了出色地完成自己的工作,布布希望用尽量少的费用招募足够的志愿者,但这并不是他的特长!于是布布找到了你,希望你帮他设计一种最优的招募方案。
Input
第一行包含两个整数N, M,表示完成项目的天数和可以招募的志愿者的种类。 接下来的一行中包含N 个非负整数,表示每天至少需要的志愿者人数。 接下来的M 行中每行包含三个整数Si, Ti, Ci,含义如上文所述。为了方便起见,我们可以认为每类志愿者的数量都是无限多的。
Output
仅包含一个整数,表示你所设计的最优方案的总费用。
Sample Input
2 3 4
1 2 2
2 3 5
3 3 2
Sample Output
HINT
招募第一类志愿者3名,第三类志愿者4名 30%的数据中,1 ≤ N, M ≤ 10,1 ≤ Ai ≤ 10; 100%的数据中,1 ≤ N ≤ 1000,1 ≤ M ≤ 10000,题目中其他所涉及的数据均 不超过2^31-1。
Source