差分约束笔记
学到差分约束。表示一点不懂。到处搜啊搜。
PS：我的博文是边写边学的，其中很少删改 - -。。（其实就是在做笔记么。。这样理解快些），如果想看结论就看最下面的。
在“摘”后面的文章中有（* *）标志的为笔记
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什么百科，文库的看也看不懂。然后找到一篇博文，大概有点概念了。慢慢更新哈 - -
这篇博文地址：点击打开链接
我就抄点过来呗。
- 摘：给出三个不等式,b-a<=k1,c-b<=k2,c-a<=k3,求出c-a的最大值,我们可以把a,b,c转换成三个点，k1，k2，k3是边上的权由题我们可以得知，这个有向图中，由题b-a<=k1,c-b<=k2,得出c-a<=k1+k2（*我不懂怎样的出的*）,因此比较k1+k2和k3的大小，求出最小的就是c-a的最大值了
- 笔记：
因为要求最大值，所以k3或第二条路径k1+k2要最小呵= =。呀呵，难道就是比较k3和k1+k2哪个小？哪个小哪个的差就越大= =呵呵。。。
额。。到底c-a这种哪个是起点哪个是终点阿= = 。。。 soga，因为是c-a，所以一定是a到c（有向）的路径（想起我们物理老师说的没有你爸就没有你之类的话，貌似就有点懂了。）就是一定有了一条路径从a到c，才能有c减去这个权值等于a（貌似是<=吧） - 摘：根据以上的解法，我们可能会猜到求解过程实际就是求从a到c的最短路径，没错的....简单的说就是从a到c沿着某条路径后把所有权值和k求出就是c-a<=k的一个
- 笔记：因为要使得c-a<=k3的k3最小，且a到c的最短路加的是最小的权值，所以c-a就一定最大，即k3=d[c]-d[a]，d是最短路。
差分约束其实就是将所有的xi（1<=i<=n，n为节点数，即上面的那种a呀，b呀，c呀）当成有向图节点，根据权值构造个图，然后xi就是d[i]
(*后记：根据P2的说法，要建一个根开始扫，即增加一个源点s,s与所有定点相连，边权均为0*)
用扫啊扫。SPFA, Bellman什么的。求出最短路的就行了。
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P1说的貌似不是差分约束- - ，好像是最基础的理解- -。。。其实楼上的有个概念含糊不清，就是那个c-a<=k3最小那里。。
（摘为百度百科：点击打开链接）
给出差分约束定义：
摘： 如果一个系统由n个变量和m个约束条件组成，其中每个约束条件形如xj-xi<=bk(i,j∈[1,n],k∈[1,m]),则称其为差分约束系统(system of difference constraints)。
亦即，差分约束系统是求解关于一组变量的特殊不等式组的方法。
P1含糊不清的奇怪定义应该改为：
根据最短路的三角不等式定理：d[v]<=d[u]+w[u,v]，移项，得d[v]-d[u]<=w[u,v]。（和差分约束的定义非常像）即差分约束
摘： 因此，以每个变量xi为结点，对于约束条件xj-xi<=bk，连接一条边(i,j)，边权为bk（*即P1说的Ki*）。我们再增加一个源点s,s与所有定点相连，边权均为0。
对这个图，以s为源点运行Bellman-ford算法（或SPFA算法），最终{d[i]}即为一组可行解。
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============================P3===begin=============================
呵呵呵呵呵呵------~~~~。。好像我懂了。。。大概总结一下：
建一个图G，根为S，d[S]=0；
然后S与每一个节点（即xi）连一条边权为0的边。然后在x1到xn根据ki，i∈[1,n]来建边，注意，因为根据P2的移项前后，d[v]是在后面得到的，
故v为终点，u为起点，即如果有x1-x2<=k1,那么建的边应该是w[x2][x1] = k1;//起点是x2,终点是x1。然后扫啊扫~~。然后xi就是d[i]
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===========================13.9.2更新===============================
自己用SPFA写了代码，呵呵= =
#include <iostream>
#include <queue>
#include <vector>
using namespace std;
const int MAXN = 1000;
const int INF = 1000000000;
//我习惯用这样的邻接表，呵呵
struct ed{int v, w;};
struct nod
{
vector<ed> edge;
}node[MAXN];
int n, m, i, v, w, t;
int d[MAXN];
ed temp;
queue<int> q;
bool qvis[MAXN]={0};
int vis[MAXN]={0};
int main()
{
cin >> n >> m; //n是X的数量，m是K的数量
for(i = 0; i < m; i++)
{
cin >> temp.v >> t >> temp.w;
node[t].edge.push_back(temp);
}
//初始化，顺便初始化s节点
for(i = 1; i <= n; i++)
{
temp.v = i, temp.w = 0;
node[0].edge.push_back(temp);
d[i] = INF;
}
d[0] = 0;
//压入s
q.push(0);
//SPFA
while(!q.empty())
{
t = q.front(); q.pop();
for(i = 0; i < node[t].edge.size(); i++)
{
v = node[t].edge[i].v;
w = node[t].edge[i].w;
if(d[v] > d[t] + w)
{
d[v] = d[t] + w;
if(!qvis[v])
{
qvis[v] = 1;
q.push(v);
vis[v]++;
}
if(vis[v] > n)
{
cout << "No answer!\n";
while(!q.empty())q.pop();
break;
}
}
}
qvis[t] = 0;
}
for(i = 1; i <= n; i++)
cout<<'x'<<i<<':'<<d[i]<<endl;
return 0;
}
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===========================13.9.2更新===============================
摘自NOCOW(点击打开链接):
如果一个系统由n个变量和m个约束条件组成，其中每个约束条件形如xj-xi<=bk(i,j∈[1,n],k∈[1,m]),则其为差分约束系统(system of difference constraints)。亦即，差分约束系统是关于一组变量的特殊不等式组。求解差分约束系统，可以转化成图论的单源最短路径问题。
观察xj-xi<=bk，会发现它类似最短路中的三角不等式d[v]<=d[u]+w[u,v]，即d[v]-d[u]<=w[u,v]。因此，以每个变量xi为结点，对于约束条件xj-xi<=bk，连接一条边(i,j)，边权为bk。我们再增加一个源点s,s与所有点相连，边权均为0。对这个图，以s为源点运行bellman-ford算法，最终{d[i]}即为一组可行解。(差分约束系统的解的一个特点是，当将所有变量同时增加相同的大小，约束条件依然成立）
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