最短路

本文介绍4种算法：SPFA, Dijkstra, Bellman-Ford, Floyd
PS:文中分大小写。图为G(V,E)，V为节点集合，E为边集合，但v表示某个节点（v∈V）

Dijkstra:

原理：通过每一次解压节点min{key[v]|v∈G-已经生成的最短路径的树}并添加到树中，并将所有以v为起点的边松弛（key域），来达到最短路（贪心）
注意：图中不能有负权，不能查是否有负权回路
步骤：
1. 初始化key域。每个key[v]=INF，v∈V
2. 将最短路起点S的key[S] = 0
3. 定义一个优先队列 priority_queue (#include <queue>) ，并将S节点（可以考虑用pair来绑定key域,也可以用一个结构来绑定）压入。//STL的队列默认为最大优先，故要创建一个比较类，重载()来实现最小堆
4. 循环（直到队列为空）每一次解压最小值，将最小key域所绑定的节点v解压出来并添加到树中（直接用一个bool数组来确定是否在树中即可，要输出路径就定义一个父亲域并维护）将v为起点的边全部松弛一遍，维护key域。并将这条边的终点压入队列。

分析：时间复杂度O(N^2)
适用于：稠密图
优化：优化堆的实现，即手打FIB堆或其它比STL快的堆= =。可以达到O(NlogN)

Bellman-Ford:

原理：通过V-1次（最短路长度最多有V-1条边嘛- -）对每一条边松弛，来实现最短路（同样是贪心）
好处：图中可以有负权，也能判断是否有负权回路
步骤：
1. 初始化key域。每个key[v]=INF，v∈V
2. 循环（1~n-1）
3. 枚举所有边进行松弛
4. 判断是否有回路，循环（1~V）
  如果以v∈V为起点的边还能松弛，即有回路。（自己拿算导看证明哈，或者谷歌百度，或者自己想）

分析：时间复杂度O(VE)
适用于：稀疏图和负权图
优化：我布吉岛

Floyd:

4行代码：

for(k = 1; k <= N; k++)
	for(i = 1; i <= N; i++)
		for(j = 1; j <= N; j++)
			node[i][j] = min(node[i][j], node[i][k]+node[k][j]);

SPFA：（全名为：ShortestPathFasterAlgorithm）

百科

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我们知道，求一个图中的单源最短路径有Dijkstra、Ford这两种经典的算法。其复杂度均是O(N2)，通过堆的优化，Dijkstra可以达到O(NlogN)的复杂度。但对于一些十分稀疏的图，这个复杂度就有些浪费了。当一个图中的边数e远远小于N2时，我们就考虑是否有一种算法，其时间复杂度只跟边数e有关系。于是SPFA诞生了。

我们知道，Dijkstra的O(N2)是因为又一重循环是为了找到目前的Dist值最小的节点，于是我们想，能不能不找最小的，只是按照一定的顺序更新就可以了。那么算法的雏形就出来了,设S为源点：

Quene←S
While Quene not empty do
    Tmp←Quene
    For each node i with an edge to Tmp do
        If Dist[i] > Dist[Tmp]+length(edge(i,Tmp)) then
            Dist[i]←Dist[Tmp]+length(edge(i,Tmp))
            If i not in the Quene then
                Quene←i

这就是传说中的SPFA。我们来看看它的执行过程：

为了图片的美观，我隐藏了顶点的标号。左上角的顶点为源点，黄的的点表示在队列中，绿色的点表示正在处理：