图论四

复健$Day7$

图论四

如果一张无向图的$N$个节点可以分成$A,B$两个不相交的非空集合，并且同一集合内的点之间没有边相连，那么称改无向图为二分图

二分图不存在奇环（长度为奇数的环）

因为每一条边都是从一个集合走到另一个集合，只有走偶数次才能回到出发点

$1.$二分图判定（染色法）

用染色法来判定二分图，若标记过程中出现冲突，则说明图中产生了奇环，不是二分图

时间复杂度$O(n+m)$

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#define maxn 100010
using namespace std;

int head[maxn],tot;

struct Edge
{
	int v,nxt;
	Edge(){}
	Edge(int v,int nxt):v(v),nxt(nxt){}
}ed[maxn<<1];

void add(int u,int v)
{
	ed[tot]=Edge(v,head[u]);
	head[u]=tot++;
}

int color[maxn];

bool dfs(int u,int c)//1表示有奇环 
{
	color[u]=c;
	for(int i=head[u];~i;i=ed[i].nxt)
	{
		int v=ed[i].v;
		if(!color[v])//初始化为0，被染色为1和2
		{
			if(dfs(v,3-c)) return 1;
		}
		else if(color[v]==c) return 1;
	}
	return 0;
}

int main()
{
	int n,m;
	cin>>n>>m;
	memset(head,-1,sizeof(head));
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		int u,v;
		cin>>u>>v;
		add(u,v);add(v,u);
	}
	bool flag=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		if(!color[i])
		{
			if(dfs(i,1))
			{
				flag=1;
				break;
			}
		}
	}
	if(flag) printf("No");//表示不是二分图
	else printf("Yes\n");
	return 0;
}

$2.$二分图最大匹配（匈牙利算法）

匈牙利算法：通过不停地找增广路来增加匹配边

时间复杂度$O(nm)$

https://www.luogu.com.cn/problem/P3386

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;

const int maxn=1e5+10;

int head[maxn],tot;

struct Edge
{
	int v,nxt;
	Edge(){}
	Edge(int v,int nxt):v(v),nxt(nxt){}
}ed[maxn];//存单向边就可以了，让左选右

void add(int u,int v)
{
	ed[tot]=Edge(v,head[u]);
	head[u]=tot++;
}

int match[maxn],vis[maxn];

bool dfs(int u)
{
	for(int i=head[u];~i;i=ed[i].nxt)
	{
		int v=ed[i].v;
		if(vis[v]) continue;
		vis[v]=1;
		if(!match[v]||dfs(match[v]))
		{
			match[v]=u;
			return 1;
		}
	}
	return 0;
}

int main()
{
	int n,m,k;
	cin>>n>>m>>k;
	memset(head,-1,sizeof(head));
	for(int i=1;i<=k;i++)
	{
		int u,v;
		cin>>u>>v;
		add(u,v+n);
	}
	int ans=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		memset(vis,0,sizeof(vis));
		if(dfs(i)) ans++;
	}
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}

$3.$二分图最大匹配（$Dinic$算法）

给二分图创建虚拟源点和汇点，将源点连上左边所有节点，右边所有节点连汇点，容量均为$1$，原来的每条边从左往右连，容量也均为$1$，这样我们就把二分图转换成了网络流模型

最大流即为最大匹配

时间复杂度$O(\sqrt n m)$

https://www.luogu.com.cn/problem/P3386

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
#define int long long
using namespace std;

const int maxn=1e6+10;

int head[maxn],tot;
int n,m;
int cur[maxn];

int d[maxn];

struct Edge
{
	int v,c,nxt;
	Edge(){}
	Edge(int v,int c,int nxt):v(v),c(c),nxt(nxt){}
}ed[maxn];

void add(int u,int v,int c)
{
	ed[tot]=Edge(v,c,head[u]);
	head[u]=tot++;
}

bool bfs()
{
	memset(d,0,sizeof(d));
	queue<int> q;
	q.push(0);
	d[0]=1;
	while(!q.empty())
	{
		int u=q.front();
		q.pop();
		for(int i=head[u];~i;i=ed[i].nxt)
		{
			int v=ed[i].v,c=ed[i].c;
			if(d[v]==0&&c)
			{
				d[v]=d[u]+1;
				q.push(v);
				if(v==n+m+1) return 1;
			}
		}
	}
	return 0;
}

int dfs(int u,int mf)
{
	if(u==n+m+1) return mf;
	int sum=0;
	for(int i=cur[u];~i;i=ed[i].nxt)
	{
		cur[u]=i;
		int v=ed[i].v;
		if(d[v]==d[u]+1&&ed[i].c)
		{
			int f=dfs(v,min(mf,ed[i].c));
			ed[i].c-=f;
			ed[i^1].c+=f;
			mf-=f;
			sum+=f;
			if(mf==0) break;
		}
	}
	if(sum==0) d[u]=0;
	return sum;
}

int dinic()
{
	int flow=0;
	while(bfs())
	{
		memcpy(cur,head,sizeof(head));
		flow+=dfs(0,1e9);
	}
	return flow;
}

signed main()
{
	memset(head,-1,sizeof(head));
	int e;
	cin>>n>>m>>e;
	for(int i=1;i<=e;i++)
	{
		int x,y;
		cin>>x>>y;
		add(x,y+n,1);add(y+n,x,0);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		add(0,i,1);add(i,0,0);
	}
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		add(i+n,n+m+1,1);add(n+m+1,i+n,0);
	}
	printf("%lld\n",dinic());
	return 0;
}

$4.$二分图最大权完美匹配（$KM$算法）

给定一个带边权的二分图，其左部、右部点数相等，均为$N$个点，如果最大匹配有$N$跳变，则称二分图的完美匹配

二分图的边权和最大的完美匹配称为二分图的最大权完美匹配

https://www.luogu.com.cn/problem/P6577