动态规划（2）——常见动态规划模型

$1.$数字三角形

每次可以往右下或者左下走一格，求路径的最大权值.

$d(i,j)=max(d(i+1,j),d(i+1,j+1))+a(i,j).$边界是$d(n+1,j)=0$，从下往上推（因为要保证$i+1$行在第$i$行之前更新）

for(int i=1;i<=n+1;++i) d[n+1][i]=0;
for(int i=n;i>=1;--i)
{
    for(int j=1;j<=i;++j)
    {
        d[i][j]=max(d[i+1][j],d[i+1][j+1])+a[i][j];
    }
}

$2.$嵌套矩形

有$n$个矩形，每个矩形用一个二元组$(a,b)$表示。我们规定矩形$X(a,b)$可以嵌套在矩形$Y(c,d)$中当且仅当$a<c,b<d$，或者$b<c,a<d$（旋转了$90$度）。选出尽量多的矩形排成一行 ，使得除了最后一个之外，每个矩形都能嵌套在下一个矩形内。若有多解，保证字典序尽量小

$DAG$最长路问题

//dp[i]表示的是从i点出发的最长路
int dp(int x)
{
    int &ans=d[x];
    if(ans) return ans;
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        if(G[x][i])
        {
            ans=max(ans,dp(i)+1);//注意记录的是从终点到起点的距离，这是为了方便字典序最小方案的输出
        }
    }
    d[x]=ans;
    return ans;
}
void print(int i)
{
    printf("%d ",i);
    for(int j=1;j<=n;++j)
    {
        if(G[i][j]&&d[j]+1==d[i])
        {
            print(j);
        }
    }
}


for(int i=1;i<=n;++i)
{
    scanf("%d%d",&a[i],&b[i]);
    if(a[i]>b[i]) swap(a[i],b[i]);
}
for(int i=1;i<=n;++i)
{
    for(int j=1;j<=n;++j)
    {
        if(a[i]>a[j]&b[i]>b[j])
        {
            G[j][i]=1;
        }
    }
}
int Max=0;
int endpos;
for(int i=1;i<=n;++i)
{
    if(dp(i)>Max)
    {
        Max=dp[i];
        endpos=i;
    }
}
print(endpos);

$3.$硬币问题

$$f(i)=min(inf,f[i-Vi]+1|Vi<=i), g(i)=max(-inf,g[i-Vi]+1|Vi<=i) (Vi为硬币的面值)$$

$4.01$背包 已有专门专题详细讲解

$5.$点集配对问题（状压$dp$)

$d(S)$ 表示集合$S$配对之后的最短距离

double dis(int i,int j)
{
    return sqrt((a[i].x-a[j].x)*(a[i].x-a[j].x)+(a[i].y-a[j].y)*(a[i].y-a[j].y));
}

int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=0;i<n;++i) scanf("%d%d",&a[i].x,&a[i].y);
    memset(d,0x7f,sizeof(d));
    d[0]=0;
    for(int i=1;i<(1<<n);++i)//由于第一个点无论如何都是要配对的，所以无需枚举（否则时间复杂度会
    {                        //乘上一个n）
        int k=0;
        while(!(i&(1<<k))) ++k;
        for(int j=k+1;j<n;++j)
        {
            if(i&(1<<j)) d[i]=min(d[i],d[i^(1<<k)^(1<<j)]+dis(k,j));
        }
    }
}

$6.$最长上升子序列问题$（LIS）$

初级：$O(n^2)$ （不过太不优秀了，我学会了第二种，就从没用过它）

进阶：$O(nlogn)$ $d[i]$表示以$a[i]$结尾的最长上升子序列的长度

for(int i=1;i<=n;+i) g[i]=inf;
for(int i=0;i<n;++i)
{
    int k=lower_bound(g+1,g+n+1,a[i])-g;
    d[i]=k;
    g[k]=a[i];
}

$7.$最长公共子序列问题$(LCS)$[ 注意：$LCS$有时也指最长公共后缀，与$LCP$最长公共前缀对应 ]

for(int i=0;i<la;++i)
{
    for(int j=0;j<lb;++j)
    {
        if(a[i]==b[j])
        {
            d[i][j]=max(d[i][j],d[i-1][j-1]+1);
        }
        else if(a[i]!=b[j])
        {
            d[i][j]=max(d[i-1][j],d[i][j-1]);
        }
    }
}

还可以滚动数组优化

int f=0;
for(int i=0;i<la;++i)
{
    f^=1;
    for(int j=0;j<lb;++j)
    {
        if(a[i]==b[j])
        {
            d[f][j]=max(d[f][j],[f^1][j-1]+1);
        }
        else if(a[i]!=b[j])
        {
            d[f][j]=max(d[f^1][j],d[f][j-1]);
        }
    }
}

$8.$最大连续和

前缀和做法：

for(int i=1;i<=n;++i)
{
    scanf("%d",&a[i]);
    sum[i]=sum[i-1]+a[i];
}
int Maxn=sum[n],Max=0;
for(int i=n-1;i>=1;--i)
{
    Max=max(Max,Maxn-sum[i]);
    Maxn=max(Maxn,sum[i]);
}

动态规划做法：$d[i]$表示以i结尾的最大连续和

for(int i=1;i<=n;++i) scanf("%d",&a[i]);
for(int i=1;i<=n;++i)
{
    d[i]=max(0,d[i-1])+a[i];
}