noip专题复习之数学（5）——概率与数学期望

1.全概率公式：

将样本分成若干个不相交的部分$B1,B2,...,Bn$，则$P（A）=P（A|B1）*P（B1）+P（A|B2） * P（B2）+...+P（A|Bn）*P（Bn）$。（$P（A|B$）是指在$B$事件发生的条件下，事件$A$发生的概率。

使用全概率公式的关键是“划分样本空间”，只有把所有可能不重不漏地进行分类，并算出每个分类下事件发生的概率，才能得出该事件发生的总概率。

2.数学期望：

简单地说，随机变量X的数学期望EX就是所有可能值按照概率加权的和。

比如一个随机变量有1/2的概率为1,1/3的概率为2，1/6的概率为3，则这个随机变量的数学期望为11/2+21/3+3*1/6=5/3.

（1）期望的线性性质：$E(X+Y)=EX+EY$。

（2）全期望公式：$E(Y)=E(E(Y|X))$

（证明需用到微积分，暂时放一放）

例题1：麻球繁衍

题意：有$k$只麻球，每只活一天就会死亡，临死之前可能会生出一些新的麻球。具体来说，生$i$个麻球的概率为$P_i$。给定$m$,求$m$天后所有麻球均死亡的概率。注意：不足$m$天时就已全部死亡的情况也考虑在内。

分析：由于每只麻球独自存活，只需求出一开始只有$1$只麻球，$m$天后全部死亡的概率$f(m)$即可。由全概率公式有：

$$f(i)=P_0+P_1*f(i-1)+P_2*f(i-1)^{2}+P_3*f(i-1)^{3}+...+P_{n-1}*f(i-1)^{n-1}$$

其中$Pj*f(i-1)^j$的含义是这只麻球生了$j$个后代，他们在$i-1$天后全部死亡的概率。

最终答案应为$f(m)^k$。

$Code:$

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath> 
using namespace std;
const int N=1005;
int T,n,k,m;
double p[N],f[N];
inline double fast_pow(double a,int p){
    double ans=1;
    for (;p;p>>=1,a*=a)
      if (p&1)
        ans*=a;
    return ans;
}
int main(){
    scanf("%d",&T);
    for (int t=1;t<=T;++t){
        scanf("%d%d%d",&n,&k,&m);
        for (int i=0;i<n;++i) scanf("%lf",&p[i]);
        memset(f,0,sizeof(f));
        f[0]=0; f[1]=p[0];
        for (int i=2;i<=m;++i)
          for (int j=0;j<n;++j) f[i]+=p[j]*fast_pow(f[i-1],j);
        printf("Case #%d: %0.7lf\n",t,fast_pow(f[m],k));
    }
}