计算机程序的思维逻辑 (4) - 整数的二进制表示与位运算

上节我们提到正整数相乘的结果居然出现了负数，要理解这个行为，我们需要看下整数在计算机内部的二进制表示。

十进制

要理解整数的二进制，我们先来看下熟悉的十进制。十进制是如此的熟悉，我们可能已忽略了它的含义。比如123，我们不假思索就知道它的值是多少。

但其实123表示的1*(10^2) + 2*(10^1) + 3*(10^0)，(10^2表示10的二次方)，它表示的是各个位置数字含义之和，每个位置的数字含义与位置有关，从右向左，第一位乘以10的0次方， 即1，第二位乘以10的1次方，即10，第三位乘以10的2次方，即100，依次类推。

换句话说，每个位置都有一个位权，从右到左，第一位为1，然后依次乘以10，即第二位为10，第三位为100，依次类推。

正整数的二进制表示

正整数的二进制表示与此类似， 只是在十进制中，每个位置可以有10个数字，从0到9，但在二进制中，每个位置只能是0或1。位权的概念是类似的，从右到左，第一位为1，然后依次乘以2，即第二位为2，第三位为4，依次类推。

看一些数字的例子吧：

二进制	十进制
10	2
11	3
111	7
1010	10

负整数的二进制表示

十进制的负数表示就是在前面加一个负数符号-，例如-123。但二进制如何表示负数呢？

其实概念是类似的，二进制使用最高位表示符号位，用1表示负数，用0表示正数。

但哪个是最高位呢？整数有四种类型，byte/short/int/long，分别占1/2/4/8个字节，即分别占8/16/32/64位，每种类型的符号位都是其最左边的一位。

为方便举例，下面假定类型是byte，即从右到左的第8位表示符号位。

但负数表示不是简单的将最高位变为1，比如说：

• byte a = -1，如果只是将最高位变为1，二进制应该是10000001，但实际上，它应该是11111111。
• byte a=-127，如果只是将最高位变为1，二进制应该是11111111，但实际上，它却应该是10000001。 

和我们的直觉正好相反，这是什么表示法？这种表示法称为补码表示法，而符合我们直觉的表示称为原码表示法，补码表示就是在原码表示的基础上取反然后加1。取反就是将0变为1，1变为0。

负数的二进制表示就是对应的正数的补码表示，比如说：

• -1：1的原码表示是00000001，取反是11111110，然后再加1，就是11111111。
• -2：2的原码表示是00000010，取反是11111101，然后再加1，就是11111110。
• -127：127的原码表示是01111111，取反是10000000，然后再加1，就是10000001。 

给定一个负数二进制表示，要想知道它的十进制值，可以采用相同的补码运算。比如：10010010，首先取反，变为01101101，然后加1，结果为01101110，它的十进制值为110，所以原值就是-110。直觉上，应该是先减1，然后再取反，但计算机只能做加法，而补码的一个良好特性就是，对负数的补码表示做补码运算就可以得到其对应整数的原码，正如十进制运算中负负得正一样。

byte类型，正数最大表示是01111111，即127，负数最小表示（绝对值最大）是10000000，即-128，表示范围就是 -128到127。其他类型的整数也类似，负数能多表示一个数。

负整数为什么采用补码呢？

负整数为什么要采用这种奇怪的表示形式呢？原因是：只有这种形式，计算机才能实现正确的加减法。

计算机其实只能做加法，1-1其实是1+(-1)。如果用原码表示，计算结果是不对的。比如说：

1  -> 00000001
-1 -> 10000001
+ ------------------
-2 -> 10000010

用符合直觉的原码表示，1-1的结果是-2。

如果是补码表示：

1  -> 00000001
-1 -> 11111111
+ ------------------
0  ->  00000000 

结果是正确的。

再比如，5-3：

5  -> 00000101
-3 -> 11111101
+ ------------------
2  ->  00000010 

结果也是正确的。

就是这样的，看上去可能比较奇怪和难以理解，但这种表示其实是非常严谨和正确的，是不是很奇妙？

理解了二进制加减法，我们就能理解为什么正数的运算结果可能出现负数了。当计算结果超出表示范围的时候，最高位往往是1，然后就会被看做负数。比如说，127+1：

127   -> 01111111
1     -> 00000001
+ ------------------
-128  -> 10000000 

计算结果超出了byte的表示范围，会被看做-128。

十六进制

二进制写起来太长，为了简化写法，可以将四个二进制位简化为一个0到15的数，10到15用字符A到F表示，这种表示方法称为16进制，如下所示：

2进制	10进制	16进制
1010	10	A
1011	11	B
1100	12	C
1101	13	D
1110	14	E
1111	15	F

可以用16进制直接写常量数字，在数字前面加0x即可。比如10进制的123，用16进制表示是0x7B，即123 = 7*16+11。给整数赋值或者进行运算的时候，都可以直接使用16进制，比如：

int a = 0x7B;

Java中不支持直接写二进制常量，比如，想写二进制形式的11001，Java中不能直接写，可以在前面补0，补足8位，为00011001，然后用16进制表示，即 0x19。

查看整数的二进制和十六进制表示

在Java中，可以方便的使用Integer和Long的方法查看整数的二进制和十六进制表示，例如：

int a = 25;
System.out.println(Integer.toBinaryString(a)); //二进制
System.out.println(Integer.toHexString(a));  //十六进制
System.out.println(Long.toBinaryString(a)); //二进制
System.out.println(Long.toHexString(a));  //十六进制

位运算

位运算是将数据看做二进制，进行位级别的操作，Java不能单独表示一个位，但是可以用byte表示8位，可以用16进制写二进制常量。比如： 0010表示成16进制是 0x2, 110110表示成16进制是 0x36。

位运算有移位运算和逻辑运算。

移位有：

• 左移：操作符为<<，向左移动，右边的低位补0，高位的就舍弃掉了，将二进制看做整数，左移1位就相当于乘以2。
• 无符号右移：操作符为>>>，向右移动，右边的舍弃掉，左边补0。
• 有符号右移：操作符为>>，向右移动，右边的舍弃掉，左边补什么取决于原来最高位是什么，原来是1就补1，原来是0就补0，将二进制看做整数，右移1位相当于除以2。

例如：

int a = 4; // 100
a = a >> 2; // 001，等于1
a = a << 3 // 1000，变为8

逻辑运算有：

• 按位与 &：两位都为1才为1
• 按位或 |：只要有一位为1，就为1
• 按位取反 ~： 1变为0，0变为1
• 按位异或 ^ ：相异为真，相同为假

大部分都比较简单，就不详细说了。具体形式，例如：

int a = ...; 
a = a & 0x1 // 返回0或1，就是a最右边一位的值。
a = a | 0x1 //不管a原来最右边一位是什么，都将设为1

小结

本节我们讨论了整数的二进制表示，需要注意的就是负数的二进制表示，以及计算机进行二进制加减操作的过程，从而我们就能理解为什么有的时候正整数计算会出现负数。

我们同样讨论了整数的位运算，需要注意的就是无符号右移和有符号右移的区别。

理解了整数，那小数呢？