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【Codechef】Chef and Bike（二维多项式插值）

something wrong with my new blog!
I can't type matrixs
so I come back. qwq

题目:https://www.codechef.com/problems/BIKE

题解

是我naive了，二维和一维其实差不多

首先，n很小，t很大，什么算法？矩阵乘法！没跑了
然后矩阵里填什么？一条边是两个值啊，还要一个%n一个%(n - 1)，怎么搞

我们设计一个多项式xayb，x指数（也就是a）代表前轮加上一条边的值后取模的值，y指数（也就是b）代表后轮加上一条边的值后取模的值
最后每一项前面的系数就是答案

这样我们矩阵里填的就是多项式了，例如一条边的值是f=1,r=2那么这个邻接矩阵里填的就是xy2
好了我们做矩阵乘法并且指数分别取模n和(n - 1)就做完啦！（大雾

啥啥啥，为啥这样就做完了啊，我要在矩阵里填多项式，还要资瓷多项式的加和乘，虽然可行？但是复杂度听起来不可靠（项有n2级别啊，我多项式乘暴力搞要n4我FFT还要n2logn，而我矩阵乘法要做n3次，excuse me？)而且很玄学（我不会写），有没有什么简单优美的办法啊。

考虑插值，我们熟悉的插值都有什么呢，例如FFT，例如拉格朗日插值，都是找一些点值代进去然后反解出系数

考虑继续用FFT的思路插值反解系数，因为单位根有一个很棒的性质就是wn=1（先记住这一点，不过可能大家都知道）

啥，你说这模数不是NTT？不是哇你不是N只有22么，你会发现P−1是2..22所有的数的倍数，所以求出原根来就可以求单位根啦，不是2k而是正好N的(所以我们不能FFT了而要暴力DFT，也就是把每个单位根的值代进去求一遍值，显然你n2和大常数nlogn在22没有什么太大的区别，况且你也不能FFT）

那么我们就可以尝试把x的N种取值，y的N−1种取值结合起来
例如xy2就是wNw2N−1

好惹现在窝们（奇怪的口音？）有了N(N−1)个点值了……我们还要画在三维坐标系里不成？
回忆一下学习FFT时候的矩阵
大概是这个样子的
[(ω0n)0(ω0n)1⋯(ω0n)n−1(ω1n)0(ω1n)1⋯(ω1n)n−1⋮⋮⋱⋮(ωn−1n)0(ωn−1n)1⋯(ωn−1n)n−1][a0a1⋮an−1]=[A(ω0)A(ω1)⋮A(ωn−1)]

感觉没有问题，那么回忆一下是怎么反解出来的
假如有这么一个矩阵
[(ω−0n)0(ω−0n)1⋯(ω−0n)n−1(ω−1n)0(ω−1n)1⋯(ω−1n)n−1⋮⋮⋱⋮(ω−(n−1)n)0(ω−(n−1)n)1⋯(ω−(n−1)n)n−1]

我们让两个矩阵相乘
[(ω0n)0(ω0n)1⋯(ω0n)n−1(ω1n)0(ω1n)1⋯(ω1n)n−1⋮⋮⋱⋮(ωn−1n)0(ωn−1n)1⋯(ωn−1n)n−1][(ω−0n)0(ω−0n)1⋯(ω−0n)n−1(ω−1n)0(ω−1n)1⋯(ω−1n)n−1⋮⋮⋱⋮(ω−(n−1)n)0(ω−(n−1)n)1⋯(ω−(n−1)n)n−1]=E
设
D=[(ω0n)0(ω0n)1⋯(ω0n)n−1(ω1n)0(ω1n)1⋯(ω1n)n−1⋮⋮⋱⋮(ωn−1n)0(ωn−1n)1⋯(ωn−1n)n−1]
V=[(ω−0n)0(ω−0n)1⋯(ω−0n)n−1(ω−1n)0(ω−1n)1⋯(ω−1n)n−1⋮⋮⋱⋮(ω−(n−1)n)0(ω−(n−1)n)1⋯(ω−(n−1)n)n−1]
∑n−1i=0∑n−1j=0Eij=DikVkj
当i==j
Eij=n
当i!=j
Eij=∑n−1k=0DikVkj
Eij=∑n−1k=0ωik−kjn
Eij=∑n−1k=0ωk(i−j)n
Eij=1−(ωi−jn)n1−ωi−jn
根据单位根神奇的性质，我们有
(ωi−jn)n=1！
这样的话
E=nI
I是单位矩阵
所以就有了
1n[(ω0n)0(ω0n)1⋯(ω0n)n−1(ω1n)0(ω1n)1⋯(ω1n)n−1⋮⋮⋱⋮(ωn−1n)0(ωn−1n)1⋯(ωn−1n)n−1][A(ω0)A(ω1)⋮A(ωn−1)]=[a0a1⋮an−1]
妙趣横生，我们只需要把原来的FFT的单位根改成反着旋转，最后除一下数组长度即可

然而？？？你说你会，因为wys在WC2018讲过了。。。（大雾

其实二维的毕克在WC2017也讲了，显然这道题是BI KE出的。。。= =

我们考虑一个n(n−1)的矩阵！

[(ω0n)0(ω0n−1)0(ω0n)0(ω0n−1)1⋯(ω0n)n−1(ω0n−1)n−3(ω0n)n−1(ω0n−1)n−2(ω0n)0(ω1n−1)0(ω0n)0(ω1n−1)1⋯(ω0n)n−1(ω1n−1)n−3(ω0n)n−1(ω1n−1)n−2⋮⋮⋱⋮⋮(ωn−1n)0(ωn−3n−1)0(ωn−1n)0(ωn−3n−1)1⋯⋮⋮(ωn−1n)0(ωn−2n−1)0(ωn−1n)0(ωn−2n−1)1⋯(ωn−1n)n−1(ωn−2n−1)n−3(ωn−1n)n−1(ωn−2n−1)n−2][a0,0a0,1⋮an−1,n−3an−1,n−2]=[A(ω0nω0n−1)A(ω0nω1n−1)⋮A(ωn−1nωn−3n−1)A(ωn−1nωn−2n−1)]

按照一样的方法把号都取反
D=[(ω0n)0(ω0n−1)0(ω0n)0(ω0n−1)1⋯(ω0n)n−1(ω0n−1)n−3(ω0n)n−1(ω0n−1)n−2(ω0n)0(ω1n−1)0(ω0n)0(ω1n−1)1⋯(ω0n)n−1(ω1n−1)n−3(ω0n)n−1(ω1n−1)n−2⋮⋮⋱⋮⋮(ωn−1n)0(ωn−3n−1)0(ωn−1n)0(ωn−3n−1)1⋯⋮⋮(ωn−1n)0(ωn−2n−1)0(ωn−1n)0(ωn−2n−1)1⋯(ωn−1n)n−1(ωn−2n−1)n−3(ωn−1n)n−1(ωn−2n−1)n−2]
V=[(ω−0n)0(ω−0n−1)0(ω−0n)0(ω−0n−1)1⋯(ω−0n)n−1(ω−0n−1)n−3(ω−0n)n−1(ω−0n−1)n−2(ω−0n)0(ω−1n−1)0(ω−0n)0(ω−1n−1)1⋯(ω−0n)n−1(ω−1n−1)n−3(ω−0n)n−1(ω−1n−1)n−2⋮⋮⋱⋮⋮(ω−(n−1)n)0(ω−(n−3)n−1)0(ω−(n−1)n)0(ω−(n−3)n−1)1⋯⋮⋮(ω−(n−1)n)0(ω−(n−2)n−1)0(ω−(n−1)n)0(ω−(n−2)n−1)1⋯(ω−(n−1)n)n−1(ω−(n−2)n−1)n−3(ω−(n−1)n)n−1(ω−(n−2)n−1)n−2]
E=DV
∑n(n−1)−1i=0∑n(n−1)−1j=0Ei,j=Di,kVk,j
考虑把标号拆成一个点，类似一些的矩阵标号方法？
设数值为i拆成的点是ix,iy
当i==j时
Ei,j=(ωixn)kx(ωiyn−1)ky(ω−kxn)jx(ω−kyn−1)jy
Ei,j=n∗(n−1)
而当i!=j时
Ei,j=(ωixn)kx(ωiyn−1)ky(ω−kxn)jx(ω−kyn−1)jy
Ei,j=ωkx(ix−jx)nωky(iy−jy)n−1
嗯？迷一般的。。。眼熟？
可是这样就不是等比数列了？…………等等！
Ei,j=∑n−1kx=0ωkx(ix−jx)n∑n−2ky=0ωky(iy−jy)n−1
Ei,j=1−ωn(ix−jx)n1−ωix−jxn1−ω(n−1)(iy−jy)n−11−ωiy−jyn−1
Ei,j=0
也就是！我们把等比数列的公比q当成了ωix−jxn
后面就不写了，大家都知道了，最后模长除个n(n−1)就可以了！

说到这，我想我已经想到了一个绝妙的n2logn的二维FFT（在界是2^k的情况下）
我猜你们也想到了，大概二进制平摊反转这一个小技巧就不能用了，可以递归

代码

    #include <iostream>
    #include <cstdio>
    #include <cstring>
    #include <algorithm>
    #define MAXM 100005
    //#define ivorysi
    using namespace std;
    typedef long long int64;
    const int MOD = 1163962801,G = 46;
    int N,M,T;
    int px[105],py[105];
    struct node {int s,t,x,y;} E[MAXM];
    int v[25][25][25][25],w[25][25];
    struct Matrix {
    	int f[24][24];
    	void clear() {
    		memset(f,0,sizeof(f));
    	}
    	friend Matrix operator * (const Matrix &a,const Matrix &b) {
    		Matrix c;c.clear();
    		for(int i = 1 ; i <= N ; ++i) {
    			for(int j = 1 ; j <= N ; ++j) {
    				for(int k = 1 ; k <= N ; ++k) {
    					c.f[i][j] = (c.f[i][j] + 1LL * a.f[i][k] * b.f[k][j] % MOD) % MOD;
    				}
    			}
    		}
    		return c;
     	}
     	void set_Matrix(int x,int y) {
     		clear();
     		for(int i = 1 ; i <= M ; ++i) {
     			f[E[i].s][E[i].t] = (f[E[i].s][E[i].t] + 1LL * px[E[i].x * x % N] * py[E[i].y * y % (N - 1)] % MOD) % MOD;
     		}
     	}
    }A,Ans,I;
    int fpow(int x,int c) {
        int res = 1,t = x;
        while(c) {
    		if(c & 1) res = 1LL * res * t % MOD;
    		t = 1LL * t * t % MOD;
    		c >>= 1;
        }
        return res;
    }
    void mul(int c) {
    	Ans = I;Matrix t = A;
    	while(c) {
    		if(c & 1) Ans = Ans * t;
    		t = t * t;
    		c >>= 1;
    	}
    }
    void Process(int x,int y) {
    	for(int i = 0 ; i < N ; ++i) {
    		for(int j = 0 ; j < N - 1 ; ++j) {
    			w[i][j] = 0;
    			for(int k = 0 ; k < N ; ++k) {
    				for(int l = 0 ; l < N - 1 ; ++l) {
    					w[i][j] = (w[i][j] + 1LL * v[x][y][k][l] * px[N - k * i % N] % MOD
    						* py[N - 1 - l * j % (N - 1)] % MOD) % MOD;
    				}
    			}
    			w[i][j] = 1LL * w[i][j] * fpow(N * (N - 1),MOD - 2) % MOD;
    		}
    	}
    }
    void Init() {
        scanf("%d%d%d",&N,&M,&T);
        for(int i = 1 ; i <= M ; ++i) {
    		scanf("%d%d%d%d",&E[i].s,&E[i].t,&E[i].x,&E[i].y);
    		E[i].x %= N;
    		E[i].y %= N - 1;
        }
        
        px[0] = 1;py[0] = 1;
    	px[1] = fpow(G,(MOD - 1) / N);
    	py[1] = fpow(G,(MOD - 1) / (N - 1));
    	for(int i = 2 ;i <= N ; ++i) {
    		px[i] = 1LL * px[i - 1] * px[1] % MOD;
    		py[i] = 1LL * py[i - 1] * py[1] % MOD;
    	}
    }
    void Solve() {
    	Init();
    	I.clear();
    	for(int i = 1 ; i <= N ; ++i) I.f[i][i] = 1;
    	for(int i = 0 ; i < N ; ++i) {
    		for(int j = 0 ; j < N - 1 ; ++j) {
    			A.set_Matrix(i,j);
    			mul(T);
    			for(int k = 1 ; k <= N ; ++k) {
    				for(int l = 1 ; l <= N ; ++l) {
    					v[k][l][i][j] = Ans.f[k][l];
    				}
    			}
    		}
    	}
    	for(int i = 1 ; i <= N ; ++i) {
    		Process(i,i);
    		for(int k = 0 ; k < N ; ++k) {
    			for(int l = 0 ; l < N - 1 ; ++l) {
    				printf("%d%c",w[k][l]," \n"[l == N - 2]);
    			}
    		}
    	}
    }
    int main() {
    #ifdef ivorysi
    	freopen("f1.in","r",stdin);
    #endif
    	Solve();
    }
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