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【Codechef】Chef and Bike(二维多项式插值)

something wrong with my new blog!
I can't type matrixs
so I come back. qwq

题目:https://www.codechef.com/problems/BIKE

题解

是我naive了,二维和一维其实差不多

首先,n很小,t很大,什么算法?矩阵乘法!没跑了
然后矩阵里填什么?一条边是两个值啊,还要一个%n一个%(n - 1),怎么搞

我们设计一个多项式xayb,x指数(也就是a)代表前轮加上一条边的值后取模的值,y指数(也就是b)代表后轮加上一条边的值后取模的值
最后每一项前面的系数就是答案

这样我们矩阵里填的就是多项式了,例如一条边的值是f=1,r=2那么这个邻接矩阵里填的就是xy2
好了我们做矩阵乘法并且指数分别取模n和(n - 1)就做完啦!(大雾

啥啥啥,为啥这样就做完了啊,我要在矩阵里填多项式,还要资瓷多项式的加和乘,虽然可行?但是复杂度听起来不可靠(项有n2级别啊,我多项式乘暴力搞要n4我FFT还要n2logn,而我矩阵乘法要做n3次,excuse me?)而且很玄学(我不会写),有没有什么简单优美的办法啊。

考虑插值,我们熟悉的插值都有什么呢,例如FFT,例如拉格朗日插值,都是找一些点值代进去然后反解出系数

考虑继续用FFT的思路插值反解系数,因为单位根有一个很棒的性质就是wn=1(先记住这一点,不过可能大家都知道)

啥,你说这模数不是NTT?不是哇你不是N只有22么,你会发现P1是2..22所有的数的倍数,所以求出原根来就可以求单位根啦,不是2k而是正好N的(所以我们不能FFT了而要暴力DFT,也就是把每个单位根的值代进去求一遍值,显然你n2和大常数nlogn在22没有什么太大的区别,况且你也不能FFT)

那么我们就可以尝试把xN种取值,yN1种取值结合起来
例如xy2就是wNw2N1

好惹现在窝们(奇怪的口音?)有了N(N1)个点值了……我们还要画在三维坐标系里不成?
回忆一下学习FFT时候的矩阵
大概是这个样子的
[(ω0n)0(ω0n)1(ω0n)n1(ω1n)0(ω1n)1(ω1n)n1(ωn1n)0(ωn1n)1(ωn1n)n1][a0a1an1]=[A(ω0)A(ω1)A(ωn1)]

感觉没有问题,那么回忆一下是怎么反解出来的
假如有这么一个矩阵
[(ω0n)0(ω0n)1(ω0n)n1(ω1n)0(ω1n)1(ω1n)n1(ω(n1)n)0(ω(n1)n)1(ω(n1)n)n1]

我们让两个矩阵相乘
[(ω0n)0(ω0n)1(ω0n)n1(ω1n)0(ω1n)1(ω1n)n1(ωn1n)0(ωn1n)1(ωn1n)n1][(ω0n)0(ω0n)1(ω0n)n1(ω1n)0(ω1n)1(ω1n)n1(ω(n1)n)0(ω(n1)n)1(ω(n1)n)n1]=E

D=[(ω0n)0(ω0n)1(ω0n)n1(ω1n)0(ω1n)1(ω1n)n1(ωn1n)0(ωn1n)1(ωn1n)n1]
V=[(ω0n)0(ω0n)1(ω0n)n1(ω1n)0(ω1n)1(ω1n)n1(ω(n1)n)0(ω(n1)n)1(ω(n1)n)n1]
n1i=0n1j=0Eij=DikVkj
i==j
Eij=n
i!=j
Eij=n1k=0DikVkj
Eij=n1k=0ωikkjn
Eij=n1k=0ωk(ij)n
Eij=1(ωijn)n1ωijn
根据单位根神奇的性质,我们有
(ωijn)n=1
这样的话
E=nI
I是单位矩阵
所以就有了
1n[(ω0n)0(ω0n)1(ω0n)n1(ω1n)0(ω1n)1(ω1n)n1(ωn1n)0(ωn1n)1(ωn1n)n1][A(ω0)A(ω1)A(ωn1)]=[a0a1an1]
妙趣横生,我们只需要把原来的FFT的单位根改成反着旋转,最后除一下数组长度即可

然而???你说你会,因为wys在WC2018讲过了。。。(大雾

其实二维的毕克在WC2017也讲了,显然这道题是BI KE出的。。。= =

我们考虑一个n(n1)的矩阵!

[(ω0n)0(ω0n1)0(ω0n)0(ω0n1)1(ω0n)n1(ω0n1)n3(ω0n)n1(ω0n1)n2(ω0n)0(ω1n1)0(ω0n)0(ω1n1)1(ω0n)n1(ω1n1)n3(ω0n)n1(ω1n1)n2(ωn1n)0(ωn3n1)0(ωn1n)0(ωn3n1)1(ωn1n)0(ωn2n1)0(ωn1n)0(ωn2n1)1(ωn1n)n1(ωn2n1)n3(ωn1n)n1(ωn2n1)n2][a0,0a0,1an1,n3an1,n2]=[A(ω0nω0n1)A(ω0nω1n1)A(ωn1nωn3n1)A(ωn1nωn2n1)]

按照一样的方法把号都取反
D=[(ω0n)0(ω0n1)0(ω0n)0(ω0n1)1(ω0n)n1(ω0n1)n3(ω0n)n1(ω0n1)n2(ω0n)0(ω1n1)0(ω0n)0(ω1n1)1(ω0n)n1(ω1n1)n3(ω0n)n1(ω1n1)n2(ωn1n)0(ωn3n1)0(ωn1n)0(ωn3n1)1(ωn1n)0(ωn2n1)0(ωn1n)0(ωn2n1)1(ωn1n)n1(ωn2n1)n3(ωn1n)n1(ωn2n1)n2]
V=[(ω0n)0(ω0n1)0(ω0n)0(ω0n1)1(ω0n)n1(ω0n1)n3(ω0n)n1(ω0n1)n2(ω0n)0(ω1n1)0(ω0n)0(ω1n1)1(ω0n)n1(ω1n1)n3(ω0n)n1(ω1n1)n2(ω(n1)n)0(ω(n3)n1)0(ω(n1)n)0(ω(n3)n1)1(ω(n1)n)0(ω(n2)n1)0(ω(n1)n)0(ω(n2)n1)1(ω(n1)n)n1(ω(n2)n1)n3(ω(n1)n)n1(ω(n2)n1)n2]
E=DV
n(n1)1i=0n(n1)1j=0Ei,j=Di,kVk,j
考虑把标号拆成一个点,类似一些的矩阵标号方法?
设数值为i拆成的点是ix,iy
i==j
Ei,j=(ωixn)kx(ωiyn1)ky(ωkxn)jx(ωkyn1)jy
Ei,j=n(n1)
而当i!=j
Ei,j=(ωixn)kx(ωiyn1)ky(ωkxn)jx(ωkyn1)jy
Ei,j=ωkx(ixjx)nωky(iyjy)n1
嗯?迷一般的。。。眼熟?
可是这样就不是等比数列了?…………等等!
Ei,j=n1kx=0ωkx(ixjx)nn2ky=0ωky(iyjy)n1
Ei,j=1ωn(ixjx)n1ωixjxn1ω(n1)(iyjy)n11ωiyjyn1
Ei,j=0
也就是!我们把等比数列的公比q当成了ωixjxn
后面就不写了,大家都知道了,最后模长除个n(n1)就可以了!

说到这,我想我已经想到了一个绝妙的n2logn的二维FFT(在界是2^k的情况下)
我猜你们也想到了,大概二进制平摊反转这一个小技巧就不能用了,可以递归

代码

    #include <iostream>
    #include <cstdio>
    #include <cstring>
    #include <algorithm>
    #define MAXM 100005
    //#define ivorysi
    using namespace std;
    typedef long long int64;
    const int MOD = 1163962801,G = 46;
    int N,M,T;
    int px[105],py[105];
    struct node {int s,t,x,y;} E[MAXM];
    int v[25][25][25][25],w[25][25];
    struct Matrix {
    	int f[24][24];
    	void clear() {
    		memset(f,0,sizeof(f));
    	}
    	friend Matrix operator * (const Matrix &a,const Matrix &b) {
    		Matrix c;c.clear();
    		for(int i = 1 ; i <= N ; ++i) {
    			for(int j = 1 ; j <= N ; ++j) {
    				for(int k = 1 ; k <= N ; ++k) {
    					c.f[i][j] = (c.f[i][j] + 1LL * a.f[i][k] * b.f[k][j] % MOD) % MOD;
    				}
    			}
    		}
    		return c;
     	}
     	void set_Matrix(int x,int y) {
     		clear();
     		for(int i = 1 ; i <= M ; ++i) {
     			f[E[i].s][E[i].t] = (f[E[i].s][E[i].t] + 1LL * px[E[i].x * x % N] * py[E[i].y * y % (N - 1)] % MOD) % MOD;
     		}
     	}
    }A,Ans,I;
    int fpow(int x,int c) {
        int res = 1,t = x;
        while(c) {
    		if(c & 1) res = 1LL * res * t % MOD;
    		t = 1LL * t * t % MOD;
    		c >>= 1;
        }
        return res;
    }
    void mul(int c) {
    	Ans = I;Matrix t = A;
    	while(c) {
    		if(c & 1) Ans = Ans * t;
    		t = t * t;
    		c >>= 1;
    	}
    }
    void Process(int x,int y) {
    	for(int i = 0 ; i < N ; ++i) {
    		for(int j = 0 ; j < N - 1 ; ++j) {
    			w[i][j] = 0;
    			for(int k = 0 ; k < N ; ++k) {
    				for(int l = 0 ; l < N - 1 ; ++l) {
    					w[i][j] = (w[i][j] + 1LL * v[x][y][k][l] * px[N - k * i % N] % MOD
    						* py[N - 1 - l * j % (N - 1)] % MOD) % MOD;
    				}
    			}
    			w[i][j] = 1LL * w[i][j] * fpow(N * (N - 1),MOD - 2) % MOD;
    		}
    	}
    }
    void Init() {
        scanf("%d%d%d",&N,&M,&T);
        for(int i = 1 ; i <= M ; ++i) {
    		scanf("%d%d%d%d",&E[i].s,&E[i].t,&E[i].x,&E[i].y);
    		E[i].x %= N;
    		E[i].y %= N - 1;
        }
        
        px[0] = 1;py[0] = 1;
    	px[1] = fpow(G,(MOD - 1) / N);
    	py[1] = fpow(G,(MOD - 1) / (N - 1));
    	for(int i = 2 ;i <= N ; ++i) {
    		px[i] = 1LL * px[i - 1] * px[1] % MOD;
    		py[i] = 1LL * py[i - 1] * py[1] % MOD;
    	}
    }
    void Solve() {
    	Init();
    	I.clear();
    	for(int i = 1 ; i <= N ; ++i) I.f[i][i] = 1;
    	for(int i = 0 ; i < N ; ++i) {
    		for(int j = 0 ; j < N - 1 ; ++j) {
    			A.set_Matrix(i,j);
    			mul(T);
    			for(int k = 1 ; k <= N ; ++k) {
    				for(int l = 1 ; l <= N ; ++l) {
    					v[k][l][i][j] = Ans.f[k][l];
    				}
    			}
    		}
    	}
    	for(int i = 1 ; i <= N ; ++i) {
    		Process(i,i);
    		for(int k = 0 ; k < N ; ++k) {
    			for(int l = 0 ; l < N - 1 ; ++l) {
    				printf("%d%c",w[k][l]," \n"[l == N - 2]);
    			}
    		}
    	}
    }
    int main() {
    #ifdef ivorysi
    	freopen("f1.in","r",stdin);
    #endif
    	Solve();
    } 
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