【51nod】2606 Secondary Substring

51nod 2606 Secondary Substring

感觉有趣的一道计数，实际上不难

感觉好久没用这种技巧了，导致我还在错误的道路上想了好久。。。

观察题目性质，可以发现就是左边第一次出现两遍的数字的位置\([i,n]\)是一个合法的次级子串

右边第一次出现两遍的数字的位置\([1,j]\)是一个合法的次级子串，两边取max

且最长次级子串一定和首尾相连，至少出现两遍的子序列一定是次级子串的最后一个字符出现两遍和它的前\(|s| - 1\)个字符构成的

这道题就是用至多长度为\(n\)的减去至多长度为\(n - 1\)的

所以我们现在考虑如何算至多长度为\(n\)的

首先如果长度小于等于\(n+1\)的串，一定次级子串长度至多为\(n\)，这是一个等比数列求和

然后考虑长度为\(n + 1 + i\)的串，很容易发现\(i <= K\)，因为一旦超过\(K\)，前\(n + 1\)个字符的后面就会出现至少两个相同的字母

那么分两种情况考虑，一种是\(n + 1 > i\)

那么这个\(n + 1 + i\)的串前\(n + 1 - i\)个和后\(n + 1 - i\)个都必须有限制，第一条是左边的数两两不同，右边的数两两不同，左边限制是不能和左数第\(n + 2 - i\)个相同，右边限制是不能和右数第\(n + 2 - i\)个相同。

这个组合数算一算就好了，不难

另一种情况是\(n + 1 <= i\)

那么就是前\(i + 1\)个必须两两不同，然后后\(n\)个也要两两不同，但是后\(n\)个可以和前\(n\)个相等，和\([n + 1,i + 1]\)不相等，这也是简单的排列组合

总之就是想到至多的那个容斥基本就会了……

#include <bits/stdc++.h>
#define fi first
#define se second
#define pii pair<int,int>
#define mp make_pair
#define pb push_back
#define space putchar(' ')
#define enter putchar('\n')
#define eps 1e-10
#define ba 47
#define MAXN 200005
//#define ivorysi
using namespace std;
typedef long long int64;
typedef unsigned int u32;
typedef double db;
template<class T>
void read(T &res) {
    res = 0;T f = 1;char c = getchar();
    while(c < '0' || c > '9') {
	if(c == '-') f = -1;
	c = getchar();
    }
    while(c >= '0' && c <= '9') {
	res = res * 10 +c - '0';
	c = getchar();
    }
    res *= f;
}
template<class T>
void out(T x) {
    if(x < 0) {x = -x;putchar('-');}
    if(x >= 10) {
	out(x / 10);
    }
    putchar('0' + x % 10);
}
const int MOD = 998244353;
int fac[MAXN],invfac[MAXN];
int N,K;
int inc(int a,int b) {
    return a + b >= MOD ? a + b - MOD : a + b;
}
int mul(int a,int b) {
    return 1LL * a * b % MOD;
}
void update(int &x,int y) {
    x = inc(x,y);
}
int C(int n,int m) {
    if(n < m) return 0;
    else return mul(fac[n],mul(invfac[m],invfac[n - m]));
}
int fpow(int x,int c) {
    int res = 1,t = x;
    while(c) {
	if(c & 1) res = mul(res,t);
	t = mul(t,t);
	c >>= 1;
    }
    return res;
}
int getsum(int n,int q) {
    if(n <= 0) return 0;
    if(q == 1) return n;
    int t = inc(1,MOD - fpow(q,n + 1));
    t = mul(t,fpow(1 + MOD - q,MOD - 2));
    update(t,MOD - 1);
    return t;
}
int query(int n) {
    if(n == 0) return 0;
    int res = getsum(n,K);
    for(int i = 1 ; i <= K ; ++i) {
	int tmp = 0;
	if(n > i) {
	    update(tmp,fpow(K,n - i));
	    int t = mul(C(K - 1,i),fac[i]);
	    t = mul(t,t);
	    tmp = mul(tmp,t);
	}
	else if(n <= i) {
	    int t = mul(C(K,i + 1),fac[i + 1]);
	    int h = mul(C(K - (i - n + 2),n - 1),fac[n - 1]);
	    update(tmp,mul(t,h));
	}
	update(res,tmp);
	
    }
    return res;
}
void Solve() {
    read(N);read(K);
    out(inc(query(N + 1),MOD - query(N)));enter;
}
int main(){
#ifdef ivorysi
    freopen("f1.in","r",stdin);
#endif
    fac[0] = 1;
    for(int i = 1 ; i <= 200000 ; ++i) fac[i] = mul(fac[i - 1],i);
    invfac[200000] = fpow(fac[200000],MOD - 2);
    for(int i = 199999 ; i >= 0 ; --i) invfac[i] = mul(invfac[i + 1],i + 1);
    int T;
    read(T);
    for(int i = 1 ; i <= T ; ++i) Solve();
}